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Geometría analítica en el espacio: Propiedades métricas
Contribuido por: Mayobre Antón

GEOMETRÍA ANALÍTICA

     EN EL ESPACIO

PROPIEDADES MÉTRICAS

Distancia entre dos puntos
Distancia de un punto a una recta
Distancia entre dos rectas paralelas
Distancia entre dos rectas que se cruzan
Ángulo entre dos rectas secantes
Ángulo entre dos rectas que se cruzan
Ángulo entre dos planos secantes
DISTANCIA  ENTRE DOS PUNTOS
x2
x1
z2
z1
B(x2,y2,z2)
y2
|AB|=    (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
A(x1,y1,z1)
y1

Distancia de A a B

Dist(A,B)=|AB|
b)
a)
Calcula la distancia entre los siguientes puntos:
A(2,3,4), B(-2,0,5)
A(-2,0,1), B(2,2,-1)
Distancia (A,B) = |AB| =
Distancia (A,B) = |AB| =                 =
AB=
AB=
(    ,    ,    )
(    ,    ,    )
Distancia de un punto a una recta
r

Para calcular la distancia de un punto  P a una recta r necesitamos

conocer un punto de la recta y un vector director

distancia de P a r =
A

v

|AP x v| = |v|·|AP|·sen(AP,v)
|AP x v|
|v|
d
P

d = distancia de P a r

90º
x =
Punto de la recta:  

Calcula la distancia del punto P(   ,    ,   ) a la recta r:

r:
2x+3y-z-4=0
x-y +2z+1=0

    z+4    3

-2z-1   -1

2     3

1   -1

AP=(      ,      ,      )

A(       ,       , 0 )

=  -z +
1
5
2x+3y =     z+ 4
  x-   y = -2z - 1
S.C.I.
1
5

6

5
, y =

Resolvemos el sistema para

calcular un punto de la recta r:

 2      z+4   

 1  -2z-1   

2     3

1   -1

6

5
1
5
5
=  z +

6

5
, z=z
Punto de la recta:  

Calcula la distancia del punto P(   ,    ,   ) a la recta r:

AP=( 1, -1, 5 )
r:
AP x v =
2x+3y-z-4=0
x-y +2z+1=0
v=

 i   j    k

2  3  -1

1 -1   2

 i   j    k

1 -1   5

5 -5  -5

A(       ,       , 0 )

1
5
=
=
(       ,       ,       )
(       ,       ,       )

6

5

6

5
1
5
5
|AP x v|
|v|
Distancia(P,r) =                       =
AP x v = (30, 30, 0)
v=(5,-5,-5)

Calcula la distancia del punto P(   ,    ,   ) a la recta r:

r:
2x+3y-z-4=0
x-y +2z+1=0
|AP x v|
|v|
|v| =
|AP x v | =

6

5
1
5
5

Calcula la distancia del punto P(   ,    ,   ) a la recta r:

r:

Calculemos la proyección del punto "P " sobre la recta "r" , " P' ".

La distancia de P a r es igual al módulo del vector PP'.

Sea π el plano que pasa por P y tiene como vector normal

el vector director de r.

P' = r ∩π
2x+3y-z-4=0
x-y +2z+1=0
Vector director de la recta  u =
u =
π:  5x -5y -5z + D = 0
(   ,   ,   )

Otra forma posible para

resolver el problema:

 (2,3,-1) x (1,-1,2) =
Calculemos D

6

5
1
5
5
1  -1  2
?
2  3  -1
?
i   j    k
?

Calcula la distancia del punto P(   ,    ,   ) a la recta r:

r:
2x+3y-z-4=0
x-y +2z+1=0
π:  5x -5y -5z + D = 0
π:  5x -5y -5z +       = 0
P' = π ∩ r

P∊π

D=-5·    +5·     +5·5=

π:  5x-5y-5z+20= 0
r:

6

5
2x+3y-   z-4 = 0
  x-  y+2z+1 = 0
1
5
Calculemos D

6

5
1
5
5

Resolvamos

el sistema

para calcular

P'

Calcula la distancia del punto P(   ,    ,   ) a la recta r:

x=
z=
r:
π:  5x-5y-5z+20= 0

    4   3  -1

  -1  -1   2

-20  -5  -5

2x+3y-   z-4 = 0
  x-  y+2z+1 = 0

2    3      4

1   -1   -1

5   -5 -20

2   3  -1

1  -1   2

5  -5  -5

2   3  -1

1  -1   2

5  -5  -5

=
=

Resolvamos el sistema para calcular P'=P∩π

=

=

-4

1
5
P'(     ,     ,     )
y=

6

5

2     4   -1

1   -1     2

5 -20   -5

2   3  -1

1  -1   2

5  -5  -5

-4

5
1
5
5

11

5
=
1

=

11

5
Distancia de P a r = |PP'|=

Calcula la distancia del punto P(   ,    ,   ) a la recta r:

P'(     ,     ,     )
PP'=(     ,     ,     )

-4

5
-2
?

11

5
2
?
1
-4
?

6

5
1
5
5

Distancia entre dos rectas paralelas = Distancia de

un punto cualquiera de una de ellas a la otra. 

r

s

Distancia(r,s)=

distancia de P a s =

v

v

A
|AP x v|
|v|

P

Distancia entre dos rectas que se cruzan

Volumen = Superficie base x altura
Distancia de (r,s)=
A
B
d
v
u
s
| [AB, u, v] |
|u x v|
r

La distancia de la

recta r a la recta s

coincide con la altura

del paraleleípedo

que forman los

vectores AB, u y v.

Calcula la distancia entre las rectas r y s:
r:          =           =
s:          =           =
x-3
x+3
2
3
y+1
-2
2
y
z-1
z-1
1
1
Vector director de la recta s

Punto de la recta s

v =(      ,       ,      )
B=(       ,      ,      )
Vector director de la recta r

Punto de la recta r

u =(      ,      ,      )
A=(       ,      ,      )
Calcula la distancia entre las rectas r y s:
Recta r:
Recta s:
AB = ( -6, 1, 0)
Distancia de (r,s)=
Vector director
Vector director
v =(  3,-1, 1)
u =( 2, 2, 1)
| [AB, u, v] |
|u x v|
B=( -3, 0, 1 )

Punto de la recta

A=( 3, -1, 1)

Punto de la recta

=

Ángulo entre dos rectas secantes

s
r
α = ángulo (r,s) =
A
v
α

u

|u · v| = |u|·|v|·cos(u,v)
arccos
(   )
|u|·

|u · v|

|v|

Ángulo entre dos rectas que se cruzan

r
s
r'
α = ángulo (r,s) =
A
v
v
α

u

arccos
(   )
|u|·

|u · v|

|v|

recta paralela

a "r" y secante

con "s"

Ángulo entre dos planos secantes

ángulo (π,π') =ángulo( nπ , nπ' )
π'
nπ'
nπ
π
Calcula en ángulo que forman los planos π y π '
π  : 2x-3y+4z-2=0
vector normal

nπ =

nπ ·

nπ

nπ'

(   ,   ,   )
=
=

nπ'  =

ángulo=arccos

nπ' =

π' : 3x-3y -2z+3=0
vector normal
(   ,   ,   )
(     )
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