Sistemes d'equacions lineals i representació geomètrica
Sistemes
d'equacions lineals
Una equació lineal amb dues incògnites té infinites solucions
Solucions d'una equació lineal amb dues incògnites
Qualsevol parella de nombres que verifiquin una
equació lineal són solució de l'equació.

x=3 ; y=-5  també és solució perquè 3·3+2·(-5)=-1,però  x=2 ; y=4  no és solució perquè   3·2+2·4≠-1
Per exemple x=1 ; y=-2  és solució de l'equació
perquè 3·1+2·(-1)=-1
3x+2y=-1 
Com es troben solucionsd'una equació lineal?
Per trobar solucions
s'una equació linealamb dues incònitesdonem valor a una
incògnita i trobem
l'altra substituint a
l'equació.

El resultat es potexpressar en una
taula de valors.
Completa taula devalors si l'equació és:
-1
x
1
0
3x+y=5
-1
y
Practica amb l'equació següent.
Completa la taula de valors.
2x-3y=6
-3
0
x
y
0
8
Com a mínim cal trobar dos punts, però millor trobar-netres, així podem comprovar que no ens hem equivocat
si surten aliniats.
Si hi fem veurem que tots els punts estan alineats i que
totes les solucions de l'equació determinen una recta.
Les solucions d'una equació lineal es poden representar
com punts del pla.
Representar gràficament una equació lineal consisteix
en representar els punts solució del sistema que
trobem a partir d'una taula de valors.
Representació gràfica d'una equació lineal
Anem a fer-ho ara
Representació gràfica d'una equació (1)
Considerem l'equació
Completa la taula 
de valors següent:
Segon pas:
Primer pas:
Aïlla la incògnita
Apunta l'equació i la taulade valors en el teu quadern.
y =
2x-y=3
-
x
0
1
2
y
Escriu aquí les coordenadesdels punts i copia al teuquadern
Representem gràficamentels punts que corresponena les solucions que ens hansortit.
Representació gràfica d'una equació (2)
Tercer pas:
(   ,   )
(   ,   )
(   ,   )
Unim els punts que hemrepresentat prèviament,
Aquesta teniu la representaciógràfica de la equació
Representació gràfica d'una equació (3)
2x-y=3
Representa la recta alteu quadern a partirdels punts solució
Resoldre un sistema és trobar les seves solucions.
Un sistema d'equacions lineals consisteix en dues o
més equacions que s'han de verificar a la vegada.
Una solució és una parella de nombres que verifiquenles dues equacions.
Solució d'un sistema d'equacions lineals
Per exemple x=-2 ; y=7 és solució del sistema
3x+y=1
4x+2y=6
Practica ara qualsevol dels tres mètodes per resoldre
els sistemes d'equacions següents.

Recorda que la solució ha d'estar sempre simplificada.
Per resoldre analíticament un sistema utilitzem els mètodes
que hem après a classe:
Resolució analítica d'un sistema d'equacions
Substitució
Igualació
Reducció
Resol els sistemes d'equacions següents (1):
x=
y=
x=
y=
x=
y=
Copia en el teu quadernels sistemes i els resolsamb el mètode que et semblimés adient.
Escriu després les solucionsque has obtingut en els espais de l'esquerra

Resol els sistemes d'equacions següents (2):
x=
y=
x=
y=
x=
y=
Fes el mateix amb aquestesequacions
Per exemple.
El sistema,
té la solució gràficade la dreta  x=3 ; y=1
Per resoldre gràficament un sistema d'equacions calrepresentar cadascuna de les equacions i trobar elspunts que tenen en comú. Aquests punts seran lessolucions del sistema.
Anem a fer-ho nosaltres pas a pas
Resolució gràfica d'un sistema d'equacions
Anem a representar el sistema d'equacions:
0
x
3
0
y
Completa la taula de valors i fes la gràfica  al teu quadern
x
0
2
0
y
Indica quina de les quatre solucions següents
correspon amb la que has fet al teu quadern
A
C
B
D
Gràfica A
Gràfica B
Gràfica C
Gràfica D
Donat el sistema d'equacions
Practica una mica més
0
x
Completa les taules de valors següents i representa al teu quadern.
0
y
0
x
0
y
Comprova si l'has fet bé
Relaciona els sistemes
d'equacions amb la
resolució gràfica
corresponent
Observació:Escriu la lletra enmajúscules
C
D
B
A
Segons la quantitat de solucions, els sistemes d'equacions es classifiquen de la forma següent
Veiem en les diapositives següents
quan els sistemes tenen un caràcter o un altre
Classificació dels sistemes d'equacions
Compatible determinat

Compatible indeterminat
Incompatible
Qualsevol altra parella de nombres no és solució del sistema
Un sistema és compatible determinatquan té una única solució.
Per exemple



és un sistema compatible determinatperquè la única solució és x=2 ; y=1
Sistemes Compatibles Determinats
Tots els sistemes que hem vist fins ara eren compatiplesdeterminats perquè tenien una única solució.

Gràficament es representen amb dues rectes que estallen en un punt (la solució del sistema)
Interpretació geomètrica dels sistemescompatibles determinats
Un sistema és incompatible quan no té cap solució.
És un sistema incompatible perquè és impossibleque dos valors donin 1 al substituir a la primeraequació i 4 al substituir en la segona
Per exemple
Sistemes Incompatibles
Interpretació geomètrica dels sistemes incompatibles
Com els sistemes incompatibles no tenen solució, larepresentació gràfica seran dues rectes sense cap punten comú.
Gràficament es representen amb dues rectes paral·leles
El mateix passaria si intentéssim resoldre el sistema
per qualsevol altre mètode que no sigui reducció.
Si intentem resoldre un sistema incompatible
al final sempre ens sortira una igualtat que mai
és certa. Per exemple:
És un sistema compatible indeterminat perquè qualsevol
solució de la primera equació és també solució de la segona equació.
Per exemple   x=1 ; y=1  és solució de les totesdues equacions, i   x=4 ; y=-1   també és solució.
Un sistema és compatible determinatquan té una infinites solucions.
Sistemes Compatibles Indeterminats
Com que les dues equacions tenen les mateixes solucions,les dues equacions representaran la mateixa recta.
Gràficament es representen amb una única recta.
Interpretació geomètrica dels sistemes
compatibles indeterminats
El mateix passaria si intentéssim resoldre el sistema
per qualsevol altre mètode que no sigui reducció.
Si intentem resoldre un sistema compatible indeterminat
al final sempre ens sortira una igualtat que sempreés certa. Per exemple:
Un sistema és compatible determinat si:
A veure si ho has entès bé:
Classificació dels sistemes d'equacions
Té infinites solucions
No té solució
Té una única solució
Té només dues solucions
Un sistema és compatible indeterminat si:
A veure si ho has entès bé:
Classificació dels sistemes d'equacions
Té infinites solucions
Té infinites solucions
No té solució
No té solució
Té una única solució
Té una única solució
Té només dues solucions
Té només dues solucions
Un sistema és incompatible si:
A veure si ho has entès bé:
Classificació dels sistemes d'equacions
Té infinites solucions
Té infinites solucions
Té infinites solucions
No té solució
No té solució
No té solució
Té una única solució
Té una única solució
Té una única solució
Té només dues solucions
Té només dues solucions
Té només dues solucions
Compatible determinat

Compatible indeterminat
Incompatible
Relaciona
Classificació dels sistemes d'equacions
Té una única solució
?
Té infinites solucions
?
No té solució
?
Tipus de sistemes i interpretació gràfica
Si un sistema és compatible determinates representa gràficament com:
Dues rectes que es tallen en un punt
Dues rectes paral·leles
Dues rectes coincidents
No té interpretació gràfica
Tipus de sistemes i interpretació gràfica
Si un sistema és compatible indeterminates representa gràficament com:
Dues rectes que es tallen en un punt
Dues rectes paral·leles
Dues rectes coincidents
No té interpretació gràfica
Tipus de sistemes i interpretació gràfica
Si un sistema és incompatiblees representa gràficament com:
Dues rectes que es tallen en un punt
Dues rectes paral·leles
Dues rectes coincidents
No té interpretació gràfica
Compatible determinat

Compatible indeterminat
Incompatible
Relaciona
Tipus de sistemes i interpretació gràfica
Dues rectes que es tallen en un punt.
?
Dues rectes coincidents.
?
Dues rectes paral·leles
?
Compatible indeterminat
?
Indica quin és el caracter dels sistemes següents:
Incompatible
?
Compatible Determinat
?
Podem saber el caracter del sistema observant els seus
coeficients i termes independents.
Si tenim el sistemad'equacions següent:
Criteris per classificar dels sistemes d'equacions
el sistema és compatible determinat
el sistema és incompatible
el sistema és compatible indeterminat
i es compleix:
El sistema
Utilitza el que has vist a la diapositiva anterior per
resoldre les qüestions següents:
Té una única solució
Té infinites solucions
No té cap solució
Quina és la representació gràfica del sistema següent?
Dues rectes paral·leles
Dues rectes secants
Dues rectes coincidents
Quina és la representació gràfica del sistema següent?
Dues rectes paral·leles
Dues rectes secants
Dues rectes coincidents
per a quin valor de a el sistema representa dues
rectes paral·leles.
Donat  el sistema d'equacions següent
6
3
-6
-3
per a quin valor de k el sistema representa duesrectes paral·leles.
Donat  el sistema d'equacions següent
14
-14
7
-7
Esperem que us hagi servit per repassarla unitat abans de l'examen
Bé. Això s'ha acabat.
Prova creada amb That Quiz — el lloc de proves matemàtiques per a alumnes de tots nivells.