- 1. Les equacions diferencial parcials (EDP) són un tipus d'equació diferencial que involucra múltiples variables independents. S'utilitzen per descriure fenòmens com la conducció de calor, la dinàmica de fluids i la mecànica quàntica. A diferència de les equacions diferencials ordinàries, que només involucren una variable independent, les EDP involucren dues o més variables independents i les seves derivades parcials. Les solucions de les EDP són funcions que depenen de totes les variables independents i que satisfan l'equació diferencial donada. Les EDP juguen un paper crucial en diversos camps de la ciència i l'enginyeria, proporcionant eines poderoses per modelar i predir el comportament de sistemes complexos.
Quin mètode s'utilitza habitualment per resoldre equacions diferencials parcials lineals amb coeficients constants?
A) Mètode de la transformació de Laplace
B) Mètode de separació de variables
C) Mètode de la funció de Green
D) Mètode de diferències finites
- 2. Quin tipus de condició de contorn especifica el valor de la solució en una frontera tancada del domini?
A) Condició de contorn de Dirichlet
B) Condició de contorn de Cauchy
C) Condició de contorn de Neumann
D) Condició de contorn de Robin
- 3. Quina equació és un cas particular de l'equació de Helmholtz amb el terme dret igual a zero?
A) Equació de Poisson
B) Equació del calor
C) Equació de Laplace
D) Equació d'ona
- 4. Quin mètode implica transformar una equació diferencial parcial en una equació integral per resoldre la funció desconeguda?
A) Mètode de les funcions de Green
B) Mètode de característiques
C) Mètode de separació de variables
D) Mètode de transformades integrals
- 5. El problema de Cauchy per a una equació diferencial parcial hiperbòlica requereix condicions inicials especificades sobre quin tipus de superfície?
A) Superfície de frontera
B) Superfície característica
C) Superfície de truncació
D) Superfície de Cauchy
- 6. En el context de les equacions diferencial parcials, quin terme es refereix a una solució que satisfà l'equació, però no necessàriament les condicions de contorn?
A) Solució exacta
B) Solució forta
C) Solució feble
D) Solució numèrica
- 7. Quin tipus de condició de contorn especifica la derivada normal de la solució en una frontera del domini?
A) Condició de contorn de Dirichlet
B) Condició de contorn de Robin
C) Condició de contorn de Neumann
D) Condició de contorn de Cauchy
- 8. Quina equació diferencial parcial s'utilitza per modelar fenòmens ondulatoris, com ara les vibracions i les ones sonores?
A) Equació d'ones
B) Equació de Poisson
C) Equació de Laplace
D) Equació de la calor
- 9. Quin mètode implica convertir una equació diferencial parcial en un sistema d'equacions diferencials ordinàries mitjançant una substitució de variables?
A) Mètode de característiques
B) Mètode de les funcions de Green
C) Mètode de separació de variables
D) Mètode d'expansió en funcions pròpies
- 10. Quina és una de les aplicacions més importants de les equacions diferencial parcials en les disciplines científiques?
A) Limitades a la resolució d'equacions algebraiques senzilles.
B) Només s'utilitzen en matemàtiques pures.
C) Comprensió fonamental en física i enginyeria.
D) Principalment per a la ciència de l'ordinador teòrica.
- 11. Quina és l'equació de Laplace per a una funció u(x, y, z) de tres variables?
A) ∂u/∂x² + ∂u/∂y² + ∂u/∂z² = 1
B) ∂²u/∂x² - ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0
C) ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0
D) ∂u/∂x + ∂u/∂y + ∂u/∂z = 1
- 12. Com es denomina una funció que satisfà l'equació de Laplace?
A) Una funció lineal
B) Una funció parabòlica
C) Una funció el·líptica
D) Una funció harmònica
- 13. Quina de les següents funcions no és harmònica?
A) u(x, y, z) = sin(xy) + z
B) u(x, y, z) = 2x² - y² - z²
C) u(x, y, z) = (1 / √(x² - 2x + y² + z² + 1))
D) u(x, y, z) = e5xsin(3y)cos(4z)
- 14. Quina és la forma d'una funció v(x, y) que satisfà ∂²v/∂x∂y = 0?
A) v(x, y) = f(xy)
B) v(x, y) = f(x) + g(y)
C) v(x, y) = xy
D) v(x, y) = x + y
- 15. Quin és el domini de la funció u per a l'equació diferencial parcial ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0, amb una funció contínua U definida sobre el cercle unitari?
A) El propi cercle unitari.
B) Tot el pla real.
C) Qualsevol domini arbitrari.
D) El disc de radi unitari centrat a l'origen en el pla.
- 16. Per a quina equació diferencial parcial (PDE) existeix una solució única amb la prescripció lliure de dues funcions?
A) ∂²u/∂x² - ∂²u/∂y² = 0 a R × (-1, 1)
B) ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 al disc unitari
C) Qualsevol PDE lineal homogènia
D) Una PDE no lineal amb arrels quadrades i quadrats
- 17. Quina és la forma de solució per a una funció u que satisfaci l'equació diferencial parcial no lineal esmentada?
A) u(x, y) = exy
B) u(x, y) = ax + by + c
C) u(x, y) = x² + y²
D) u(x, y) = f(x)g(y)
- 18. Quantes variables ha de tenir la funció desconeguda en una equació diferencial parcial?
A) Qualsevol nombre de variables.
B) Dues o més (n ≥ 2).
C) Exactament una variable.
D) Tres o més variables.
- 19. Quin és el paper de 'D' en una equació diferencial parcial?
A) L'operador de derivada parcial.
B) Un resolvador d'equacions diferencials.
C) Una constant arbitrària.
D) Un domini d'integració.
- 20. Quin símbol representa l'operador de Laplace?
A) u_xx
B) a1
C) Δ
D) ∇
- 21. Quin tipus d'equació diferencial parcial (PDE) descriu l'equació a1(x,y)u_{xx} + a2(x,y)u_{xy} + f(u_x, u_y, u, x, y) = 0?
A) Lineal amb coeficients constants
B) Quasilineal
C) Semilineal
D) Totalment no lineal
- 22. Quin tipus d'equació diferencial parcial (PDE) es caracteritza per no tenir propietats de linealitat?
A) Quasilineal
B) Semilineal
C) Lineal amb coeficients constants
D) Totalment no lineal
- 23. Quin tipus d'equació diferencial parcial (PDE) conserva les discontinuïtats en les dades inicials?
A) PDEs el·líptiques.
B) PDEs parabòliques.
C) PDEs hiperbòliques.
D) PDEs ultrahiperbòliques.
- 24. Quin tipus d'equació diferencial parcial (PDE) es pot transformar en una forma anàloga a l'equació de la calor?
A) PDEs el·líptiques.
B) PDEs hiperbòliques.
C) PDEs parabòliques.
D) PDEs ultrahiperbòliques.
- 25. Quin tipus d'equació diferencial parcial (PDE) esdevé l'equació d'Euler-Tricomi quan x < 0?
A) Parabòlica.
B) Ultrahiperbòlica.
C) El·líptica.
D) Hiperbòlica.
- 26. Quina és la forma d'una equació diferencial parcial de segon ordre que es pot expressar com u_xx - u_yy + ... = 0?
A) Parabòlica.
B) El·líptica.
C) Ultrahiperbòlica.
D) Hiperbòlica.
- 27. Quin tipus d'equació diferencial parcial (PDE) pot aproximar el moviment d'un fluid a velocitats subsòniques?
A) PDEs parabòliques.
B) PDEs el·líptiques.
C) PDEs hiperbòliques.
D) PDEs ultrahiperbòliques.
- 28. Quina àrea no es menciona com un camp on les equacions diferencial parcials són fonamentals?
A) Mecànica quàntica
B) Electroestàtica
C) Enginyeria
D) Física
- 29. Quina lletra grega s'utilitza sovint per indicar l'operador de Laplace en física?
A) β
B) Δ
C) ∇²
D) α
- 30. En què depèn la classificació de les equacions diferencials parcials de segon ordre?
A) El discriminant B² − AC
B) Els coeficients A, B i C
C) El nombre de variables independents
D) El tipus de condicions de contorn
|