Mecànica lagrangiana - Prova
  • 1. La mecànica lagrangiana és un marc matemàtic per descriure la dinàmica dels sistemes mecànics en termes de coordenades generalitzades, velocitats i forces. Es basa en el principi de l'acció estacionària, on la dinàmica d'un sistema es deriva d'una única funció anomenada lagrangiana. La lagrangiana es defineix com la diferència entre l'energia cinètica i l'energia potencial del sistema i codifica tota la informació necessària per descriure el comportament del sistema. Aplicant les equacions d'Euler-Lagrange a la lagrangiana, es poden derivar les equacions de moviment del sistema, que proporcionen una manera potent i elegant d'analitzar i resoldre problemes mecànics. La mecànica lagrangiana s'utilitza àmpliament en física i enginyeria per estudiar una varietat de sistemes, des de pèndols senzills fins a sistemes complexos de múltiples cossos, i ofereix un enfocament més general i versàtil en comparació amb la mecànica newtoniana clàssica.

    Qui va formular el formalisme de la mecànica lagrangiana?
A) Isaac Newton
B) Galileo Galilei
C) Joseph-Louis Lagrange
D) James Clerk Maxwell
  • 2. El lagrangià es defineix com la diferència entre quines de les següents energies?
A) Energia cinètica i energia potencial
B) Energia tèrmica i energia mecànica
C) Energia elèctrica i energia magnètica
D) Energia interna i energia externa
  • 3. Quina funció s'utilitza en la mecànica lagrangiana per descriure l'evolució d'un sistema físic al llarg del temps?
A) Reacció
B) Força
C) Massa
D) Acció
  • 4. De quines variables depèn la funció lagrangiana d'un sistema?
A) Coordenades generalitzades, les seves derivades respecte al temps i el temps.
B) Coordenades cartesianes i les seves derivades respecte al temps.
C) Energia potencial i velocitat.
D) Massa i velocitat.
  • 5. En la mecànica lagrangiana, quin és el terme que designa un petit canvi en la configuració d'un sistema?
A) Desplaçament dinàmic
B) Desplaçament estacionari
C) Desplaçament real
D) Desplaçament virtual
  • 6. Quin principi de la mecànica lagrangiana estableix que la natura tendeix a seguir camins que minimitzen o maximitzen una certa quantitat?
A) Segona llei de Newton
B) Llei d'Ohm
C) Principi de la mínima acció
D) Llei de Hooke
  • 7. Quina és la terminologia utilitzada per descriure un conjunt de coordenades que defineixen de manera única la configuració d'un sistema en la mecànica lagrangiana?
A) Coordenades esfèriques
B) Coordenades generalitzades
C) Coordenades polars
D) Coordenades cartesianes
  • 8. Quina estructura matemàtica s'utilitza per derivar les equacions del moviment en la mecànica lagrangiana?
A) Equacions diferencials
B) Àlgebra lineal
C) Càlcul vectorial
D) Càlcul de variacions
  • 9. En quin any Joseph-Louis Lagrange va presentar la seva obra sobre la mecànica lagrangiana a l'Acadèmia de Ciències de Torí?
A) 1755
B) 1803
C) 1760
D) 1788
  • 10. Quantes coordenades són necessàries per definir de manera única la configuració d'un sistema amb N partícules en un espai tridimensional?
A) N
B) 3N
C) 6N
D) 9
  • 11. Què estableix la segona llei de Newton en el context d'un sistema de N partícules?
A) El moment sempre és zero.
B) La força resultant és igual a la massa per l'acceleració de cada partícula.
C) La força és inversament proporcional al quadrat de la distància.
D) L'energia es conserva en totes les interaccions.
  • 12. Quina és la quantitat central de la mecànica lagrangiana?
A) La funció de força
B) L'energia cinètica
C) El lagrangià
D) L'hamiltonià
  • 13. En absència d'un camp electromagnètic, quin és el lagrangià no relativista per a un sistema de partícules?
A) L = V - T
B) L = T - V
C) L = 2T - V
D) L = T + V
  • 14. Com s'expressa l'energia cinètica total 'T' per a un sistema de partícules?
A) T = (1/3) Σ (des de k=1 fins a N) m_k v_k2
B) T = Σ (des de k=1 fins a N) m_k v_k
C) T = Σ (des de k=1 fins a N) m_k2 v_k
D) T = (1/2) Σ (des de k=1 fins a N) m_k v_k2
  • 15. Com canvia l'energia potencial 'V' si hi ha un camp extern o una força motriu que varia amb el temps?
A) V = V(v1, v2, ...)
B) V roman constant
C) V = V(r1, r2, ...)
D) En termes generals, V = V(r1, r2, ..., v1, v2, ..., t)
  • 16. Pot qualsevol funció ser considerada un lagrangià si genera les equacions de moviment correctes?
A) No, només funcions específiques poden ser utilitzades.
B) Només si exclou l'energia potencial.
C) Només si inclou l'energia cinètica.
D) Sí, d'acord amb les lleis de la física.
  • 17. Què s'introdueix juntament amb el lagrangià per tenir en compte les forces dissipatives com la fricció?
A) Funció de dissipació de Rayleigh
B) Equacions de restricció
C) Funció d'energia potencial
D) Símbols de Christoffel
  • 18. Quins tipus de restriccions pot tractar directament la mecànica lagrangiana?
A) Restriccions holonòmiques
B) Restriccions no holonòmiques
C) Restriccions relativistes
D) Forces disipatives
  • 19. Quina de les següents opcions NO és un exemple de restricció no holonòmica?
A) Restriccions que impliquen fricció.
B) Restriccions que inclouen desigualtats.
C) Restriccions que depenen de les velocitats de les partícules.
D) Restriccions que es poden integrar.
  • 20. En el context de la mecànica lagrangiana, què representen les geodèsiques per a les partícules lliures?
A) Trajectòries o camins extrems
B) Camins corbats en l'espai-temps
C) Camins d'acceleració no lineal
D) Camins amb energia màxima
  • 21. Quina és la importància de les geodèsiques en un espai real tridimensional pla?
A) Són camins corbats.
B) Són línies rectes.
C) Representen trajectòries de màxima energia.
D) Són camins d'acceleració no lineal.
  • 22. Quina és la relació entre la segona llei de Newton i les geodèsiques per a partícules lliures?
A) La segona llei de Newton no té relació amb les geodèsiques.
B) Les geodèsiques representen les trajectòries amb la força màxima.
C) Les partícules lliures segueixen les geodèsiques, que són trajectòries extremes.
D) Les partícules lliures es desvien de les geodèsiques a causa de les forces.
  • 23. Qui va introduir el principi de D'Alembert el 1708?
A) Leonhard Euler
B) Jacques Bernoulli
C) Joseph-Louis Lagrange
D) Isaac Newton
  • 24. En quin any va desenvolupar D'Alembert aquest principi per resoldre problemes dinàmics?
A) 1788
B) 1755
C) 1743
D) 1708
  • 25. Què ens permet analitzar el principi de D'Alembert en les equacions del moviment?
A) Tant les forces de reacció com les forces aplicades que no són de reacció.
B) Només les forces aplicades que no són de reacció.
C) Variacions de l'energia potencial.
D) Només les forces de reacció.
  • 26. Per què no es pot aplicar fàcilment el principi de D'Alembert per establir equacions de moviment en un sistema de coordenades arbitrari?
A) Els desplaçaments podrien estar relacionats per una equació de restricció.
B) Només es pot aplicar a l'equilibri estàtic.
C) El principi només és vàlid per a sistemes lineals.
D) Requereix el coneixement de totes les forces que actuen sobre el sistema.
  • 27. Quina és la forma de les equacions de Lagrange després d'una transformació de coordenades?
A) (d/dt)(∂L'/∂Q̇i) = ∂L'/∂Qi + Σj λj (∂ϕ'j/∂Qi).
B) (d/dt)(∂L/∂q̇i) = ∂L/∂qi.
C) (d/dt)(∂L'/∂Qi) = Σj λj (∂ϕ'j/∂Q̇i).
D) (d/dt)(∂L'/∂Qi) = ∂L'/∂Q̇i + Σj λj (∂ϕ'j/∂Q̇i).
  • 28. Quin teorema relaciona les quantitats conservades amb les simetries en el lagrangià?
A) Teorema d'Euler
B) Teorema de Lagrange
C) Teorema de Newton
D) Teorema de Noether
  • 29. En la mecànica lagrangiana, què representa el símbol ∇ en el context de les forces?
A) L'operador gradient.
B) L'operador divergència.
C) Un potencial escalar.
D) L'operador rotacional (o rot·lació).
  • 30. Què representa el terme ∂L/∂x˙ en la mecànica lagrangiana?
A) ∇V
B) d/dt(∂L/∂x)
C) -∂V/∂x
D) m x˙
  • 31. En la mecànica lagrangiana, què representa el terme d/dt(∂L/∂ẋ)?
A) m ẋ
B) ∂L/∂x
C) m ẍ
D) -∂V/∂x
  • 32. Quina variable del sistema de coordenades esfèriques és cíclica, indicant que no apareix explícitament en el lagrangià?
A) r
B) m
C) θ
D) φ
  • 33. Què es conserva a causa de que φ sigui una coordenada cíclica?
A) Moment angular pφ
B) Moment lineal pr
C) Energia cinètica (1/2)mv²
D) Energia potencial V(r)
  • 34. Quina és l'expressió per al moment angular conservat pφ en coordenades esfèriques?
A) pφ = mr²sin²(θ)φ̇
B) pφ = (m/2)r²sin(θ)φ̇
C) pφ = m(r² + θ² + φ²)
D) pφ = m(r²θ̇ + sin(θ)φ̇)
  • 35. En l'equació d'Euler-Lagrange per a r, quin terme representa la força centrípeta?
A) mr(θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
B) -m(r̈ + θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
C) -mr(θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
D) m(r̈ - θ̇² - sin²(θ)φ̇²)
  • 36. A l'equació d'Euler-Lagrange per a θ, quin terme té en compte el canvi en el moment angular degut a φ?
A) -mr²sin(θ)cos(θ)φ̇²
B) -mr²sin(θ)φ̇
C) mr²sin(θ)cos(θ)φ̇²
D) m(r²θ̇ + sin(θ)cos(θ)φ̇)
  • 37. Quina és l'expressió per a l'energia potencial V del sistema del pèndol?
A) mgy_pèndol
B) Mgy_pèndol
C) (1/2)mgy_pèndol2
D) mgx_pèndol
  • 38. Què representa el lagrangià Lcm en el problema de la força central de dos cossos?
A) L'energia cinètica total del sistema.
B) El terme que descriu el moviment del centre de masses.
C) L'energia potencial deguda a la força central.
D) El terme que descriu el moviment relatiu.
  • 39. Com es calcula la massa reduïda μ en funció de m1 i m2?
A) μ = m1 * m2 / (m1 + m2).
B) μ = m1 - m2.
C) μ = m1 * m2.
D) μ = (m1 + m2) / 2.
  • 40. En coordenades polars, quina és la coordenada cíclica en el lagrangià de moviment relatiu Lrel?
A) θ (theta).
B) R (posició del centre de massa).
C) V (energia potencial).
D) r (distància radial).
  • 41. Quina és l'expressió per a la força centrífuga lagrangiana Fcf?
A) Fcf = μr/θ˙.
B) Fcf = dV/dr.
C) Fcf = μrθ˙² = ℓ²/(μr³).
D) Fcf = μr²θ˙.
  • 42. ¿És el moment canònic 'p' invariant de gauge?
A) No, no és invariant de gauge.
B) La invariança de gauge no s'aplica al moment canònic.
C) Sí, és invariant de gauge.
D) Depèn del sistema específic.
  • 43. Quina formulació de la mecànica clàssica està estretament relacionada amb la mecànica lagrangiana?
A) Mecànica de Routh
B) Formulació en l'espai de moment
C) Mecànica hamiltoniana
D) Òptica
  • 44. Com es pot obtenir l'hamiltonià a partir del lagrangià? Quina transformació s'ha d'aplicar?
A) Transformació de Fourier
B) Transformació de Legendre
C) Expansió de Taylor
D) Transformació de Laplace
  • 45. Quina és una formulació híbrida de la mecànica lagrangiana i hamiltoniana que gestioni de manera eficient les coordenades cícliques?
A) Formulació en l'espai de moments
B) Mecànica d'Ostrogradski
C) Mecànica de Routh
D) Mecànica relativista
  • 46. Quins són els possibles problemes d'incloure derivades temporals de grau superior al primer en la mecànica lagrangiana?
A) Complexitat hamiltoniana
B) Violació del principi variacional
C) Inconsistència relativista
D) Inestabilitat d'Ostrogradski
  • 47. En quin camp es pot aplicar la mecànica lagrangiana utilitzant principis variacionals per determinar les trajectòries dels raigs de llum?
A) Òptica
B) Mecànica quàntica
C) Termodinàmica
D) Electromagnetisme
  • 48. En les formulacions relativistes, què no és fàcil de tractar d'una manera covariantment evident?
A) Impulsos conservats
B) Coordenades cícliques
C) Dinàmica de partícules individuals
D) Sistemes de múltiples partícules
  • 49. En mecànica quàntica, quina constant fonamental relaciona l'acció i la fase quàntica?
A) La constant gravitacional
B) La constant de Boltzmann
C) La velocitat de la llum
D) La constant de Planck
Prova creada amb That Quiz — on la pràctica de les matemàtiques és fàcil.