- 1. Les equacions diferencial parcials (EDP) són un tipus d'equació diferencial que involucra múltiples variables independents. S'utilitzen per descriure fenòmens com la conducció de calor, la dinàmica de fluids i la mecànica quàntica. A diferència de les equacions diferencials ordinàries, que només involucren una variable independent, les EDP involucren dues o més variables independents i les seves derivades parcials. Les solucions de les EDP són funcions que depenen de totes les variables independents i que satisfan l'equació diferencial donada. Les EDP juguen un paper crucial en diversos camps de la ciència i l'enginyeria, proporcionant eines poderoses per modelar i predir el comportament de sistemes complexos.
Quin mètode s'utilitza habitualment per resoldre equacions diferencials parcials lineals amb coeficients constants?
A) Mètode de la transformació de Laplace
B) Mètode de separació de variables
C) Mètode de diferències finites
D) Mètode de la funció de Green
- 2. Quin tipus de condició de contorn especifica el valor de la solució en una frontera tancada del domini?
A) Condició de contorn de Cauchy
B) Condició de contorn de Robin
C) Condició de contorn de Dirichlet
D) Condició de contorn de Neumann
- 3. Quina equació és un cas particular de l'equació de Helmholtz amb el terme dret igual a zero?
A) Equació del calor
B) Equació de Laplace
C) Equació de Poisson
D) Equació d'ona
- 4. Quin mètode implica transformar una equació diferencial parcial en una equació integral per resoldre la funció desconeguda?
A) Mètode de transformades integrals
B) Mètode de les funcions de Green
C) Mètode de característiques
D) Mètode de separació de variables
- 5. El problema de Cauchy per a una equació diferencial parcial hiperbòlica requereix condicions inicials especificades sobre quin tipus de superfície?
A) Superfície de truncació
B) Superfície característica
C) Superfície de frontera
D) Superfície de Cauchy
- 6. En el context de les equacions diferencial parcials, quin terme es refereix a una solució que satisfà l'equació, però no necessàriament les condicions de contorn?
A) Solució forta
B) Solució feble
C) Solució numèrica
D) Solució exacta
- 7. Quin tipus de condició de contorn especifica la derivada normal de la solució en una frontera del domini?
A) Condició de contorn de Robin
B) Condició de contorn de Neumann
C) Condició de contorn de Cauchy
D) Condició de contorn de Dirichlet
- 8. Quina equació diferencial parcial s'utilitza per modelar fenòmens ondulatoris, com ara les vibracions i les ones sonores?
A) Equació d'ones
B) Equació de Laplace
C) Equació de Poisson
D) Equació de la calor
- 9. Quin mètode implica convertir una equació diferencial parcial en un sistema d'equacions diferencials ordinàries mitjançant una substitució de variables?
A) Mètode de separació de variables
B) Mètode d'expansió en funcions pròpies
C) Mètode de les funcions de Green
D) Mètode de característiques
- 10. Quina és una de les aplicacions més importants de les equacions diferencial parcials en les disciplines científiques?
A) Limitades a la resolució d'equacions algebraiques senzilles.
B) Comprensió fonamental en física i enginyeria.
C) Només s'utilitzen en matemàtiques pures.
D) Principalment per a la ciència de l'ordinador teòrica.
- 11. Quina és l'equació de Laplace per a una funció u(x, y, z) de tres variables?
A) ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0
B) ∂²u/∂x² - ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0
C) ∂u/∂x² + ∂u/∂y² + ∂u/∂z² = 1
D) ∂u/∂x + ∂u/∂y + ∂u/∂z = 1
- 12. Com es denomina una funció que satisfà l'equació de Laplace?
A) Una funció parabòlica
B) Una funció el·líptica
C) Una funció harmònica
D) Una funció lineal
- 13. Quina de les següents funcions no és harmònica?
A) u(x, y, z) = e5xsin(3y)cos(4z)
B) u(x, y, z) = sin(xy) + z
C) u(x, y, z) = 2x² - y² - z²
D) u(x, y, z) = (1 / √(x² - 2x + y² + z² + 1))
- 14. Quina és la forma d'una funció v(x, y) que satisfà ∂²v/∂x∂y = 0?
A) v(x, y) = xy
B) v(x, y) = f(x) + g(y)
C) v(x, y) = x + y
D) v(x, y) = f(xy)
- 15. Quin és el domini de la funció u per a l'equació diferencial parcial ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0, amb una funció contínua U definida sobre el cercle unitari?
A) El disc de radi unitari centrat a l'origen en el pla.
B) El propi cercle unitari.
C) Tot el pla real.
D) Qualsevol domini arbitrari.
- 16. Per a quina equació diferencial parcial (PDE) existeix una solució única amb la prescripció lliure de dues funcions?
A) Qualsevol PDE lineal homogènia
B) ∂²u/∂x² - ∂²u/∂y² = 0 a R × (-1, 1)
C) Una PDE no lineal amb arrels quadrades i quadrats
D) ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 al disc unitari
- 17. Quina és la forma de solució per a una funció u que satisfaci l'equació diferencial parcial no lineal esmentada?
A) u(x, y) = f(x)g(y)
B) u(x, y) = x² + y²
C) u(x, y) = exy
D) u(x, y) = ax + by + c
- 18. Quantes variables ha de tenir la funció desconeguda en una equació diferencial parcial?
A) Qualsevol nombre de variables.
B) Tres o més variables.
C) Exactament una variable.
D) Dues o més (n ≥ 2).
- 19. Quin és el paper de 'D' en una equació diferencial parcial?
A) L'operador de derivada parcial.
B) Una constant arbitrària.
C) Un domini d'integració.
D) Un resolvador d'equacions diferencials.
- 20. Quin símbol representa l'operador de Laplace?
A) a1
B) Δ
C) u_xx
D) ∇
- 21. Quin tipus d'equació diferencial parcial (PDE) descriu l'equació a1(x,y)u_{xx} + a2(x,y)u_{xy} + f(u_x, u_y, u, x, y) = 0?
A) Totalment no lineal
B) Quasilineal
C) Lineal amb coeficients constants
D) Semilineal
- 22. Quin tipus d'equació diferencial parcial (PDE) es caracteritza per no tenir propietats de linealitat?
A) Semilineal
B) Totalment no lineal
C) Quasilineal
D) Lineal amb coeficients constants
- 23. Quin tipus d'equació diferencial parcial (PDE) conserva les discontinuïtats en les dades inicials?
A) PDEs parabòliques.
B) PDEs hiperbòliques.
C) PDEs ultrahiperbòliques.
D) PDEs el·líptiques.
- 24. Quin tipus d'equació diferencial parcial (PDE) es pot transformar en una forma anàloga a l'equació de la calor?
A) PDEs hiperbòliques.
B) PDEs parabòliques.
C) PDEs el·líptiques.
D) PDEs ultrahiperbòliques.
- 25. Quin tipus d'equació diferencial parcial (PDE) esdevé l'equació d'Euler-Tricomi quan x < 0?
A) Ultrahiperbòlica.
B) Hiperbòlica.
C) Parabòlica.
D) El·líptica.
- 26. Quina és la forma d'una equació diferencial parcial de segon ordre que es pot expressar com u_xx - u_yy + ... = 0?
A) Ultrahiperbòlica.
B) El·líptica.
C) Parabòlica.
D) Hiperbòlica.
- 27. Quin tipus d'equació diferencial parcial (PDE) pot aproximar el moviment d'un fluid a velocitats subsòniques?
A) PDEs ultrahiperbòliques.
B) PDEs el·líptiques.
C) PDEs parabòliques.
D) PDEs hiperbòliques.
- 28. Quina àrea no es menciona com un camp on les equacions diferencial parcials són fonamentals?
A) Mecànica quàntica
B) Enginyeria
C) Física
D) Electroestàtica
- 29. Quina lletra grega s'utilitza sovint per indicar l'operador de Laplace en física?
A) β
B) ∇²
C) α
D) Δ
- 30. En què depèn la classificació de les equacions diferencials parcials de segon ordre?
A) Els coeficients A, B i C
B) El tipus de condicions de contorn
C) El nombre de variables independents
D) El discriminant B² − AC
|