Stochastische Prozesse

1. Stochastische Prozesse sind mathematische Objekte, die Zufallsphänomene modellieren, die sich über Zeit oder Raum entwickeln. Diese Prozesse zeichnen sich durch Zufälligkeit und Ungewissheit in ihrem Verhalten aus, was sie zu wichtigen Werkzeugen in verschiedenen Bereichen wie Statistik, Finanzen, Physik und Technik macht. Im Gegensatz zu deterministischen Prozessen beinhalten stochastische Prozesse bei jedem Schritt probabilistische Ergebnisse, die zu einer Vielzahl von möglichen Ergebnissen führen. Zu den Schlüsselkonzepten stochastischer Prozesse gehören Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Markov-Ketten und Brownsche Bewegung. Das Verständnis und die Analyse stochastischer Prozesse sind entscheidend für fundierte Entscheidungen in Szenarien, in denen Zufälligkeiten eine wichtige Rolle spielen.

Was ist ein stochastischer Prozess?

A) Eine Sammlung von Zufallsvariablen, die durch Zeit oder Raum indiziert sind.
B) Eine lineare Gleichung.
C) Eine deterministische Funktion.
D) Ein konstanter Wert.

2. Was ist die gedächtnislose Eigenschaft eines stochastischen Prozesses?

A) Das Verhalten in der Vergangenheit beeinflusst stark die zukünftigen Ergebnisse.
B) Der Prozess kehrt immer zu seinem Mittelwert zurück.
C) Zukünftiges Verhalten hängt nicht von der Vergangenheit ab, wenn man die Gegenwart betrachtet.
D) Sie weist ein periodisches Verhalten auf.

3. Welche Verteilung wird üblicherweise zur Modellierung von Ankunftszeiten in Warteschlangensystemen verwendet?

A) Weibull-Verteilung.
B) Normalverteilung.
C) Exponentialverteilung.
D) Poisson-Verteilung.

4. Was ist die stationäre Verteilung einer Markov-Kette?

A) Eine Verteilung mit sich ständig ändernden Parametern.
B) Eine Verteilung, die vom Ausgangszustand abhängt.
C) Eine Verteilung, die im Laufe der Zeit gegen Null konvergiert.
D) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die im Laufe der Zeit unverändert bleibt.

5. Was ist die Autokovarianzfunktion eines stochastischen Prozesses?

A) Ein Maß für die lineare Beziehung zwischen Werten zu verschiedenen Zeitpunkten.
B) Ein Maß für die Periodizität des Prozesses.
C) Ein Maß für die absolute Differenz zwischen Werten.
D) Ein Maß für die Streuung der Werte um den Mittelwert.

6. Wie wird der Wiener Prozess auch genannt?

A) Poisson-Prozess.
B) Brownsche Bewegung.
C) Ornstein-Uhlenbeck-Prozess.
D) Markov-Prozess.

7. Was ist der Zustandsraum eines stochastischen Prozesses?

A) Die Menge der Zukunftsprognosen.
B) Der Fixpunkt des Prozesses.
C) Die historische Aufzeichnung früherer Beobachtungen.
D) Die Menge aller möglichen Werte, die der Prozess annehmen kann.

8. Was ist die Chapman-Kolmogorov-Gleichung in Markov-Ketten?

A) Eine Gleichung, die das langfristige Verhalten der Kette vorhersagt.
B) Eine Gleichung, mit der die stationäre Verteilung direkt berechnet wird.
C) Eine Gleichung, die die Unsicherheit bei Übergängen modelliert.
D) Eine Gleichung, die die Wahrscheinlichkeit des Übergangs zwischen Zuständen in aufeinanderfolgenden Zeitschritten beschreibt.

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