- 1. Ein stochastischer Prozess ist ein mathematisches Objekt, das aus einer Sammlung von Zufallsvariablen besteht, die in der Regel durch die Zeit indiziert sind. Er stellt die Entwicklung eines Systems im Laufe der Zeit dar, wobei das Verhalten des Systems mit Unsicherheit oder Zufälligkeit behaftet ist. Stochastische Prozesse werden in verschiedenen Bereichen wie Finanzen, Physik, Biologie und Technik verwendet, um Zufallsphänomene zu modellieren und ihre Eigenschaften zu analysieren. Diese Prozesse können aufgrund ihrer Eigenschaften in verschiedene Typen eingeteilt werden, z. B. zeitdiskret oder zeitkontinuierlich, stationär oder nicht stationär, markovianisch oder nicht markovianisch, und bieten so einen leistungsfähigen Rahmen für die Untersuchung und das Verständnis komplexer, vom Zufall beeinflusster Systeme.
Was ist ein stochastischer Prozess?
A) Ein Zufallsprozess, der sich im Laufe der Zeit entwickelt.
B) Ein Prozess, der nur in diskreten Schritten abläuft.
C) Ein Prozess, der im Laufe der Zeit konstant bleibt.
D) Ein deterministischer Prozess mit festen Ergebnissen.
- 2. Was ist der Zustandsraum eines stochastischen Prozesses?
A) Menge aller möglichen Werte, die der Prozess annehmen kann.
B) Durchschnittswert des Prozesses über die Zeit.
C) Maximaler Wert, den der Prozess erreichen kann.
D) Exakter Wert des Prozesses zu einem bestimmten Zeitpunkt.
- 3. Wie ist bei einem Poisson-Prozess die Verteilung der Ankunftszeit zwischen den Ereignissen?
A) Exponentialverteilung
B) Gleichmäßige Verteilung
C) Bernoulli-Verteilung
D) Normalverteilung
- 4. Was bedeutet Ergodizität im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen?
A) Es können keine Rückschlüsse auf das langfristige Verhalten gezogen werden.
B) Das Verhalten ist völlig zufällig.
C) Kurzfristige Analysen reichen aus, um langfristiges Verhalten zu verstehen.
D) Das langfristige Durchschnittsverhalten lässt sich aus einer einzigen Realisierung ableiten.
- 5. Welcher der folgenden Prozesse gehört NICHT zu den stochastischen Prozessen?
A) Brownsche Bewegung
B) Geometrisches Verfahren
C) Markov-Prozess
D) Deterministischer Prozess
- 6. Was ist die Autokorrelationsfunktion eines stochastischen Prozesses?
A) Genaue Form des Prozesses zu einem bestimmten Zeitpunkt.
B) Maß für die Korrelation zwischen den Werten zu verschiedenen Zeitpunkten.
C) Durchschnitt des Prozesses über die Zeit.
D) Maximal mögliche Korrelation für den Prozess.
- 7. Welche Rolle spielt eine Übergangsmatrix in einer Markov-Kette?
A) Gibt den Endzustand des Prozesses an.
B) Berechnet die durchschnittliche Verweildauer in jedem Staat.
C) Beschreibt die Wahrscheinlichkeiten für den Wechsel in verschiedene Zustände.
D) Legt den Anfangszustand des Prozesses fest.
- 8. Was bedeutet das Gesetz der großen Zahlen im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen?
A) Die Zufälligkeit nimmt mit der Anzahl der Beobachtungen ab.
B) Mit zunehmender Anzahl der Beobachtungen konvergieren die Durchschnittswerte der Stichprobe gegen die erwarteten Werte.
C) Die Durchschnittswerte der Stichprobe weichen von den erwarteten Werten ab.
D) Die Erwartungswerte ändern sich mit der Anzahl der Beobachtungen.
- 9. In welchen Bereichen werden stochastische Prozesse häufig eingesetzt?
A) Nur in den Bereichen Finanzen und Wirtschaft.
B) Biologie, Chemie, Ökologie, Neurowissenschaften, Physik, Bildverarbeitung, Signalverarbeitung, Regelungstechnik, Informationstheorie, Informatik und Telekommunikation.
C) Vor allem in der Linguistik und Anthropologie.
D) Ausschließlich in Mathematik und Statistik.
- 10. Wer hat den Poisson-Prozess verwendet, um Telefonanrufe zu modellieren?
A) Albert Einstein.
B) Andrej Kolmogorow.
C) Louis Bachelier.
D) A. K. Erlang.
- 11. Was ist ein stochastischer Prozess mit reellen Werten?
A) Er kann nur ganzzahlige Werte annehmen.
B) Der Zustandsraum ist endlich.
C) Die Indexmenge besteht aus ganzen Zahlen.
D) Der Zustandsraum ist die reelle Zahlengerade.
- 12. In welchem Jahr tauchte das Wort 'stochastisch' laut historischen Aufzeichnungen erstmals im Englischen auf?
A) 1662
B) 1934
C) 1888
D) 1713
- 13. Wer hat den Begriff „Stochastik“ im Deutschen mit der Bedeutung von Zufall geprägt?
A) Ladislaus Bortkiewicz
B) Aleksandr Khinchin
C) Joseph Doob
D) Jakob Bernoulli
- 14. Wer hat den Begriff „zufällige Funktion“ im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen zuerst verwendet?
A) Andrei Kolmogorov
B) Aleksandr Chinchin
C) Francis Edgeworth
D) Joseph Doob
- 15. Wann wurde das Wort 'random' (zufällig) im Englischen zum ersten Mal in seiner heutigen Bedeutung verwendet?
A) 17. Jahrhundert
B) 14. Jahrhundert
C) 18. Jahrhundert
D) 16. Jahrhundert
- 16. Welcher Mathematiker hat den Begriff „stochastischer Prozess“ im Deutschen verwendet?
A) Aleksandr Chinchin
B) Ladislaus Bortkiewicz
C) Jakob Bernoulli
D) Andrej Kolmogorow
- 17. In welchem Werk verwendete Jakob Bernoulli den Ausdruck "Ars Conjectandi sive Stochastice"?
A) Ars Conjectandi
B) Principia Mathematica
C) De Motu Corporum
D) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica
- 18. Was ist der etymologische Ursprung des Wortes 'zufällig'?
A) Ein griechisches Wort, das 'auf ein Ziel zielen' bedeutet.
B) Ein altenglischs Wort, das 'Glück' bedeutet.
C) Ein lateinisches Wort, das 'Zufall' bedeutet.
D) Ein altfranzösisches Wort, das 'Geschwindigkeit, Eile' bedeutet.
- 19. Was ist die früheste dokumentierte Verwendung des Begriffs "zufälliger Prozess"?
A) 1713
B) 1934
C) 1888
D) 1662
- 20. Wer hat den Begriff „stochastischer Prozess“ früher verwendet als Aleksandr Chinchin?
A) Andrej Kolmogorow
B) Jakob Bernoulli
C) Ladislaus Bortkiewicz
D) Joseph Doob
- 21. Welche Notation stellt einen stochastischen Prozess korrekt dar?
A) {X(t)}_{t∈T}
B) {X_t}
C) X(t)
D) {X_t}_{t∉T}
- 22. Wie kann ein stochastischer Prozess falsch dargestellt werden?
A) {X_t}
B) {X_t}_{t∈T}
C) X(t)
D) {X(t)}_{t∈T}
- 23. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bernoulli-Experiment das Ergebnis 'Erfolg' liefert?
A) 0,5
B) t
C) p
D) 1-p
- 24. Was repräsentiert jede Zufallsvariable in einem Bernoulli-Prozess?
A) Eine idealisierte Münzwurf-Situation
B) Eine kontinuierliche Verteilung
C) Ein Poisson-Ereignis
D) Ein deterministisches Ergebnis
- 25. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bernoulli-Versuch das Ergebnis Null liefert?
A) p
B) t
C) 1-p
D) 0,5
- 26. Welche Indexmenge ist für einen Bernoulli-Prozess definiert, der bei Zeit null beginnt?
A) {0, 1, 2, ...}
B) [0, ∞)
C) (-∞, ∞)
D) [1, ∞)
- 27. Wie kann ein Bernoulli-Prozess idealisiert werden?
A) Wiederholtes Werfen einer Münze
B) Würfeln mit einem Würfel
C) Ziehen von Karten aus einem Kartenspiel
D) Messen von Zeitintervallen
- 28. Welchen Wert hat ein Misserfolg (oder eine Null) in einem Bernoulli-Prozess?
A) Eins
B) Null
C) t
D) p
- 29. Bei einem einfachen Zufallsprozess, welche Werte können die einzelnen Bernoulli-Variablen annehmen?
A) 0 oder 1
B) +1 oder -1
C) Jede reelle Zahl
D) -1 oder 0
- 30. Was ist der Zustandsraum für einen einfachen Zufallsprozess?
A) Ganzzahlen
B) Natürliche Zahlen
C) Reelle Zahlen
D) Rationale Zahlen
- 31. Welche Indexmenge hat ein einfacher Zufallsweg?
A) Ganzzahlen
B) Reelle Zahlen
C) Natürliche Zahlen
D) Komplexe Zahlen
- 32. Wer hat den mathematischen Beweis für die Existenz des Wiener-Prozesses erbracht?
A) Andrej Kolmogorow
B) Albert Einstein
C) Norbert Wiener
D) Kiyoshi Itô
- 33. Wie wird der Wiener-Prozess aufgrund seiner historischen Verbindung auch genannt?
A) Markov-Kette
B) Lévy-Flug
C) Brownsche Bewegung
D) Poisson-Prozess
- 34. In welchem n-dimensionalen euklidischen Raum kann der Zustandsraum eines Wiener-Prozesses verallgemeinert werden?
A) 3-dimensional
B) 2-dimensional
C) 1-dimensional
D) n-dimensional
- 35. In welchem Bereich wird der Wiener-Prozess hauptsächlich in der stochastischen Analysis verwendet?
A) Elektromagnetismus
B) Quantitative Finanzmathematik
C) Klassische Mechanik
D) Thermodynamik
- 36. Welches Modell verwendet den Wiener-Prozess im Bereich der quantitativen Finanzanalyse?
A) Hypothese des effizienten Marktes
B) Black-Scholes-Merton-Modell
C) Moderne Portfoliotheorie
D) Capital Asset Pricing Model (CAPM)
- 37. Welche Bedingung muss für t1 und t2 erfüllt sein, um eine Inkrementierung zu definieren?
A) t1 = t2.
B) t1 > t2.
C) t1 und t2 sind unabhängig.
D) t1 ≤ t2.
- 38. Im Kontext von stochastischen Prozessen, was bedeutet das Symbol '∘'?
A) Funktionskomposition.
B) Wahrscheinlichkeitsmaß.
C) Mengenüberschneidung.
D) Vereinigung von Mengen.
- 39. Für einen stationären stochastischen Prozess: Was bleibt unter Zeitverschiebungen unverändert?
A) Die Indexmenge.
B) Endliche Dimensionen der Verteilungen.
C) Das zweite Moment.
D) Der Mittelwert und die Varianz.
- 40. Welche mathematische Struktur besitzt die Indexmenge T im Zusammenhang mit der Filtration?
A) Keine spezifische Ordnung.
B) Eine partielle Ordnung.
C) Eine ungeordnete Menge.
D) Eine totale Ordnung.
- 41. Welcher Begriff wird synonym zu „Modifikation“ für stochastische Prozesse verwendet?
A) Version
B) Modifikation
C) Stochastische Äquivalenz
D) Äquivalent
- 42. Wer hat das Konzept der Separabilität für stochastische Prozesse eingeführt?
A) Paul Lévy
B) Andrej Kolmogorow
C) Joseph Doob
D) Norbert Wiener
- 43. Welche Eigenschaften muss die Indexmenge eines stochastischen Prozesses aufweisen, damit dieser als separierbar betrachtet wird?
A) Eine endliche Anzahl von Elementen.
B) Keine spezifischen Eigenschaften.
C) Eine unendliche Anzahl von Elementen.
D) Eine abzählbar dichte Teilmenge.
- 44. Welche Eigenschaft haben stochastische Prozesse mit diskreten Zeitpunkten hinsichtlich ihrer Separierbarkeit?
A) Ihre Separierbarkeit hängt vom Zustandsraum S ab.
B) Für ihre Separierbarkeit ist eine dichte, abzählbare Teilmenge ihres Indexmengen erforderlich.
C) Sie können nicht separierbar sein.
D) Sie sind immer separierbar.
- 45. Was repräsentiert die Notation 𝓕 im Kontext von stochastischen Prozessen?
A) Eine Sigma-Algebra auf Ω.
B) Ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
C) Eine Zufallsvariable.
D) Eine Indexmenge für die Zeit.
- 46. Welches Symbol kennzeichnet den Erwartungswert in der Formel für die Kreuzkovarianz?
A) C
B) V
C) R
D) E
- 47. Wie ist die Beziehung zwischen Unabhängigkeit und Unkorreliertheit für stochastische Prozesse?
A) Orthogonalität impliziert Unabhängigkeit.
B) Es sind unzusammenhängende Konzepte.
C) Unabhängigkeit impliziert Unkorreliertheit.
D) Unkorreliertheit impliziert Unabhängigkeit.
- 48. Wofür steht die Abkürzung càdlàg?
A) Stetig und differenzierbar an allen Punkten.
B) Graph mit konstanter Amplitude und linearer Darstellung.
C) Weiter rechts, beschränkt nach links (rechtsseitig stetig mit linksseitigen Grenzen).
D) Kumulative Verteilungsfunktion.
- 49. Wer hat die Funktionräume von Skorochod eingeführt?
A) Anatoliy Skorochod
B) Andrej Kolmogorow
C) Norbert Wiener
D) Paul Lévy
- 50. Wie lautet die übliche Notation für einen Skorochod-Funktionsraum?
A) S
B) F
C) D
D) C
- 51. Welche sind die wichtigsten Anwendungsbereiche von Markov-Prozessen?
A) Lösen deterministischer Differentialgleichungen
B) Simulation nicht-zufälliger Objekte
C) Markov-Ketten-Monte-Carlo-Methoden in der Bayes'schen Statistik
D) Analyse linearer Regressionsmodelle
- 52. Welche Eigenschaft stellt sicher, dass die Verteilung einer Inkrementerhöhung in einem Lévy-Prozess durch die Länge des Intervalls bestimmt wird?
A) Stationarität
B) Unabhängigkeit
C) Stetigkeit
D) Markov-Eigenschaft
- 53. Was motivierte den Briefwechsel zwischen Pierre de Fermat und Blaise Pascal?
A) Ein Problem im Zusammenhang mit Glücksspielen.
B) Die Erfindung der Algebra.
C) Das Studium der Geometrie.
D) Die Entwicklung der Analysis (Infinitesimalrechnung).
- 54. Wer leistete 1859 einen bedeutenden Beitrag zur kinetischen Gastheorie?
A) Ludwig Boltzmann
B) James Clerk Maxwell
C) Rudolf Clausius
D) Josiah Gibbs
- 55. Welcher Wissenschaftler hatte mit seinen frühen Versuchen, Zufälligkeit in die statistische Physik zu integrieren, wenig Einfluss?
A) Rudolf Clausius
B) Josiah Gibbs
C) James Clerk Maxwell
D) Ludwig Boltzmann
- 56. Welche wissenschaftliche Disziplin, die sich im 19. Jahrhundert entwickelte, konzentriert sich auf die statistische Behandlung physikalischer Systeme?
A) Quantenmechanik
B) Klassische Mechanik
C) Thermodynamik
D) Statistische Mechanik
- 57. Wer präsentierte Hilberts sechste Problem beim Internationalen Mathematikerkongress im Jahr 1900?
A) Henri Lebesgue
B) Paul Lévy
C) Andrei Kolmogorov
D) David Hilbert
- 58. Wer hat das erste Buch über Wahrscheinlichkeit veröffentlicht, das 1925 Ideen aus der Maßtheorie verwendete?
A) Sergei Bernstein
B) Paul Lévy
C) Émile Borel
D) Andrei Kolmogorov
- 59. In welchem Jahr veröffentlichte Andrei Kolmogorow sein Buch über die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie?
A) 1945
B) 1925
C) 1929
D) 1933
- 60. Wie lautet der Titel des Buches von Andrei Kolmogorow aus dem Jahr 1933 über Wahrscheinlichkeitstheorie?
A) Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
B) Die Theorie stochastischer Prozesse
C) Fundamente der Wahrscheinlichkeitstheorie
D) Einführung in die Maßtheorie
- 61. Wer bezeichnete die 1930er Jahre als die "heroische Periode der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie"?
A) Joseph Doob
B) Andrei Kolmogorov
C) Harald Cramér
D) William Feller
- 62. Welches Ereignis unterbrach die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie während des Zweiten Weltkriegs erheblich?
A) Der Kalte Krieg
B) Der Zweite Weltkrieg
C) Die Weltwirtschaftskrise
D) Die Russische Revolution
- 63. Wer gilt als Pionier auf dem Gebiet der stochastischen Prozesse und starb während des Zweiten Weltkriegs?
A) Andrej Kolmogorow
B) Paul Lévy
C) Harald Cramér
D) Wolfgang Doeblin
- 64. Welche Mathematikerin oder welcher Mathematiker leistete in den 1920er Jahren grundlegende Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie in der Sowjetunion?
A) Henri Lebesgue
B) Émile Borel
C) Paul Lévy
D) Sergei Bernstein
- 65. Wer hat maßgeblich zur Entwicklung des Gebiets der stochastischen Analysis ab den 1940er Jahren beigetragen?
A) Joseph Doob
B) Kiyosi Itô
C) Gilbert Hunt
D) Sergei Bernstein
- 66. Wer stellte in den 1940er Jahren frühe Verbindungen zwischen stochastischen Prozessen und der Potentialtheorie her?
A) Shizuo Kakutani
B) Paul-André Meyer
C) Kiyosi Itô
D) Gilbert Hunt
- 67. Welche Mathematikerin oder welcher Mathematiker hat in den 1950er Jahren Arbeiten veröffentlicht, die Markov-Prozesse und Potentialtheorie miteinander verbanden?
A) Shizuo Kakutani
B) Joseph Doob
C) Sergei Bernstein
D) Gilbert Hunt
- 68. In welchem Jahr veröffentlichte Joseph Doob sein einflussreiches Buch über stochastische Prozesse?
A) 1970
B) 1945
C) 1960
D) 1953
- 69. Wer hat den Begriff „Martingal“ für einen stochastischen Prozess eingeführt?
A) Gilbert Hunt
B) Jean Ville
C) Joseph Doob
D) Kiyosi Itô
- 70. Welcher Mathematiker erhielt den Abel-Preis im Jahr 2007 für Arbeiten im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen?
A) Paul-André Meyer
B) Srinivasa Varadhan
C) Alexander Wentzell
D) Gilbert Hunt
- 71. Welche Theorie wurde in den 1990er Jahren vorgestellt und führte dazu, dass Wendelin Werner mit der Fields-Medaille ausgezeichnet wurde?
A) Potentialtheorie
B) Theorie großer Abweichungen
C) Stochastische Analysis
D) Schramm–Loewner-Evolution
- 72. Wer wurde 2014 mit der Fields-Medaille für die Entwicklung der Theorie der „rauen Pfade“ ausgezeichnet?
A) Wendelin Werner
B) Srinivasa Varadhan
C) Gilbert Hunt
D) Martin Hairer
- 73. Welche Mathematikerin oder welcher Mathematiker hat mit ihrer/seiner späteren Arbeit in der Sowjetunion zur Theorie der großen Abweichungen beigetragen?
A) Gilbert Hunt
B) Kiyosi Itô
C) Alexander Wentzell
D) Joseph Doob
- 74. In welchem Jahr prägte Karl Pearson den Begriff "zufällige Bewegung" (engl. "random walk")?
A) 1713
B) 1919
C) 1905
D) 1930er Jahre
- 75. Welches Problem ist ein Beispiel für einen Zufallsprozess mit absorbierenden Barrieren?
A) Erneuerungsprozess
B) Punktprozess
C) Brownsche Bewegung
D) Glücksspiel-Ruinszenario
- 76. Wer hat Bernoulli-Versuche verwendet, um Glücksspiele zu untersuchen?
A) Karl Pearson
B) George Pólya
C) Christiaan Huygens
D) Jakob Bernoulli
- 77. Wer hat einen frühen Beitrag zur Entdeckung der statistischen Methode namens Kalman-Filterung durch seine Arbeit im Bereich der Zeitreihenanalyse geleistet?
A) Louis Bachelier
B) Norbert Wiener
C) Albert Einstein
D) Thorvald Thiele
- 78. In welchem Jahr verwendete Louis Bachelier einen Wiener-Prozess, um Preisänderungen an der Pariser Börse zu modellieren?
A) 1912
B) 1880
C) 1950er Jahre
D) 1900
- 79. Wer veröffentlichte im Jahr 1905 eine Arbeit, die die Brownsche Bewegung untersuchte, um zufällige Bewegungen von Teilchen in Flüssigkeiten zu erklären?
A) Albert Einstein
B) Percy Daniell
C) Marian Smoluchowski
D) Jean Perrin
- 80. Wer hat Bacheliers These ins Englische übersetzt und damit zu ihrer Verbreitung beigetragen?
A) Leonard Savage
B) Thorvald Thiele
C) Jean Perrin
D) Percy Daniell
- 81. Welcher Mathematiker ist dafür bekannt, unabhängig von Einsteins Arbeit Ergebnisse zu entwickeln, die äquivalent dazu sind?
A) Marian Smoluchowski
B) Norbert Wiener
C) Leonard Savage
D) Louis Bachelier
- 82. In welchem Jahrzehnt begannen Ökonomen, auf Bacheliers ursprüngliche Arbeit häufiger Bezug zu nehmen als auf sein Buch?
A) 1900er Jahre
B) 1950er Jahre
C) 1960er Jahre
D) 1920er Jahre
- 83. Welche Art von Gleichung leitete Albert Einstein ab, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Teilchen in der Brownschen Bewegung zu beschreiben?
A) Differentialgleichung
B) Methode der kleinsten Quadrate (Least Squares Equation)
C) Diffusionsgleichung
D) Fourier-Gleichung
- 84. Wer gilt als Pionier des Bereichs der Finanzmathematik mit seiner Arbeit über Preisänderungen?
A) Norbert Wiener
B) Thorvald Thiele
C) Louis Bachelier
D) Albert Einstein
- 85. In welchem Hauptbereich lag die Forschungsarbeit von Thorvald Thiele zu seiner Methode der kleinsten Quadrate?
A) Zeitreihenanalyse
B) Physik
C) Finanzmathematik
D) Maßtheorie
- 86. Welcher Mathematiker entwickelte eine Maßtheorie, die Norbert Wiener in seiner Arbeit über den Wiener-Prozess verwendete?
A) Albert Einstein
B) Marian Smoluchowski
C) Louis Bachelier
D) Percy Daniell
- 87. In welchem Jahr veröffentlichte Filip Lundberg seine Dissertation über den Poisson-Prozess?
A) 1903
B) 1920
C) 1910
D) 1909
- 88. In welchem Bereich lag Filip Lundbergs bahnbrechende Arbeit, als er vorschlug, Modelle mit einem homogenen Poisson-Prozess zu erstellen?
A) Versicherungsansprüche
B) Telefonanrufe
C) Alpha-Teilchen
D) Differentialgleichungen
- 89. Welche Forscherin oder welcher Forscher hat mit ihrer/seiner Arbeit zur Zählung von Alpha-Teilchen die unabhängige Entdeckung des Poisson-Prozesses ermöglicht?
A) Siméon Poisson
B) A.K. Erlang
C) Harry Bateman
D) Filip Lundberg
- 90. In welchem Jahr veröffentlichte Andrej Markov seine erste Arbeit über Markov-Ketten?
A) 1931
B) 1906
C) 1928
D) 1912
- 91. Wer hat Markov-Ketten auf endlichen Gruppen untersucht, um das Mischen von Karten zu analysieren?
A) Maurice Fréchet
B) Andrej Kolmogorow
C) Sydney Chapman
D) Henri Poincaré
- 92. Wer entdeckte unabhängig von Galton und Watson einen verzweigten Prozess?
A) Maurice Fréchet
B) Irénée-Jules Bienaymé
C) Sydney Chapman
D) Andrej Markov
- 93. In welchem Jahr begann Maurice Fréchet seine Studien über Markov-Ketten?
A) 1928
B) 1931
C) 1907
D) 1912
- 94. Wer leitete die Chapman-Kolmogorov-Gleichung im Jahr 1928 ab?
A) Sydney Chapman
B) Andrej Kolmogorow
C) Louis Bachelier
D) Norbert Wiener
- 95. Wer hat maßgeblich zur Entwicklung der Grundlagen von Markov-Prozessen ab den 1930er Jahren beigetragen?
A) Sydney Chapman
B) William Feller
C) Louis Bachelier
D) Paul Ehrenfest
- 96. Wer begann, ab den 1950er Jahren Beiträge zum Gebiet der Markov-Prozesse zu leisten?
A) Henri Poincaré
B) Eugene Dynkin
C) Maurice Fréchet
D) Andrej Kolmogorow
- 97. In welchem Jahr leitete Kolmogorov eine charakteristische Funktion für Zufallsvariablen ab, die mit Lévy-Prozessen in Verbindung stehen?
A) 1928
B) 1934
C) 1932
D) 1937
- 98. Welcher Satz wird verwendet, um die Existenz eines stochastischen Prozesses mit bestimmten endlichen Dimensionsverteilungen zu beweisen?
A) Existenzsatz von Kolmogorov
B) Zentraler Grenzwertsatz
C) Itôs Lemma
D) Kontinuitätssatz von Lévy
- 99. Welche zwei Bedingungen müssen endliche Dimensionen aufweisen, um den Existenzsatz von Kolmogorow zu erfüllen?
A) Normalität und Stationarität
B) Linearität und Stetigkeit
C) Konsistenzbedingungen
D) Unabhängigkeit und gleiche Verteilung
- 100. Welche Art von Modell berücksichtigt Zufälligkeiten bei Geburten, Todesfällen und Migration in der Bevölkerungsdynamik?
A) Lineare Modelle
B) Stochastische Modelle
C) Deterministische Modelle
D) Nichtlineare Modelle
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