Computergestützte Zahlentheorie

Computergestützte Zahlentheorie - Quiz

1. Die rechnergestützte Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Verwendung von Computeralgorithmen und -techniken zur Untersuchung und Lösung von Problemen im Zusammenhang mit Zahlen beschäftigt. Sie umfasst den Einsatz von Rechenwerkzeugen zur Analyse zahlentheoretischer Konzepte und Phänomene wie Primzahlen, Faktorisierung, modulare Arithmetik und kryptografische Verfahren. Durch den Einsatz von Berechnungsmethoden können Forscher und Mathematiker komplexe zahlentheoretische Fragen untersuchen, effiziente Algorithmen zur Lösung mathematischer Probleme entwickeln und das Verhalten verschiedener Zahlenfolgen und Eigenschaften analysieren. Die rechnerische Zahlentheorie spielt eine entscheidende Rolle in der modernen Kryptografie, der Datenverschlüsselung und der Sicherheit digitaler Kommunikationssysteme und ist daher ein grundlegender Bereich der Mathematik und Informatik.

Welcher Algorithmus wird üblicherweise verwendet, um den größten gemeinsamen Teiler (GCD) von zwei ganzen Zahlen zu finden?

A) Das Sieb des Eratosthenes
B) Binäre Suche
C) Fermats kleiner Lehrsatz
D) Euklidischer Algorithmus

2. Wofür wird der Chinese Remainder Theorem in der Zahlentheorie verwendet?

A) Primzahlen finden
B) Lösen von Systemen simultaner Kongruenzen
C) Berechnung von Faktorzahlen
D) Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche

3. Was ist die kleinste Primzahl?

A) 3
B) 2
C) 5
D) 1

4. Was zählt die Funktion Eulersche Totientenfunktion?

A) Anzahl der Teiler von n
B) Anzahl der geraden Zahlen kleiner als n
C) Anzahl der Primfaktoren von n
D) Anzahl der positiven ganzen Zahlen kleiner als n, die zu n koprim sind

5. Was ist das Wilson'sche Theorem?

A) p ist eine Primzahl, wenn und nur wenn (p-1)! ≡ -1 (mod p)
B) Jede Zahl ist eine Fakultät einer anderen Zahl
C) Die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ist immer gerade
D) Das Produkt von k beliebigen aufeinanderfolgenden Zahlen ist durch k teilbar!

6. Wie viele Primzahlen gibt es zwischen 1 und 20 (einschließlich)?

A) 9
B) 8
C) 7
D) 6

7. Welches Theorem besagt, dass jede gerade ganze Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen ausgedrückt werden kann?

A) Der letzte Satz von Fermat
B) Goldbachsche Vermutung
C) Satz des Pythagoras
D) P vs. NP Problem

8. Was ist eine Sophie Germain prime?

A) Primzahl, deren Quadratwurzel prim ist
B) Primzahl p, so dass 2p + 1 ebenfalls prim ist
C) Primzahl größer als 100
D) Prime mit nur 1 Faktor

9. Wie wird der Miller-Rabin-Primatitätstest üblicherweise verwendet?

A) Sortieren von Zahlen in absteigender Reihenfolge
B) Ermittlung des GCD von zwei Zahlen
C) Berechnung der Fibonacci-Folge
D) Prüfung der Primzahl von großen Zahlen

10. Wie nennt man eine Zahl, die keine anderen positiven Teiler als 1 und sich selbst hat?

A) Primzahl
B) Zusammengesetzte Nummer
C) Ungerade Zahl
D) Gerade Zahl

11. Was ist eine Mersenne-Primzahl?

A) Primzahl mit genau 2 Faktoren
B) Primzahl größer als 1000
C) Primzahl, die um eins kleiner ist als eine Potenz von 2
D) Perfektes Quadrat, das erstklassig ist

12. Was wird mit der Divisor-Funktion σ(n) berechnet?

A) Anzahl der perfekten Zahlen kleiner als n
B) Anzahl der Primfaktoren von n
C) Summe aller positiven Teiler von n
D) Eulersche Totientenfunktion Wert von n

13. Was besagt der Wert des Legendre-Symbols (a/p), wenn p eine ungerade Primzahl ist?

A) Anzahl der Lösungen der Gleichung a² = p (mod m)
B) Anzahl der Teiler von p+a
C) Gibt an, ob a ein quadratischer Rest modulo p ist
D) Wert der Funktion f(a, p) = a^p

14. Was ist eine Niven-Nummer?

A) Ganze Zahl, die durch die Summe ihrer Ziffern teilbar ist
B) Perfekte Zahl mit Primfaktoren
C) Primzahl größer als 100
D) Gerade Zahl kleiner als 10

15. Wie ist die Mobius-Funktion für eine positive ganze Zahl n definiert?

A) μ(n) = 1, wenn n gerade ist und 0, wenn n ungerade ist
B) μ(n) = n² - n für jede positive ganze Zahl n
C) μ(n) = -1, wenn n eine Primzahl ist, sonst 0
D) μ(n) = 1, wenn n eine quadratfreie positive ganze Zahl mit einer geraden Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren ist, μ(n) = -1, wenn n quadratfrei mit einer ungeraden Anzahl von Primfaktoren ist, und μ(n) = 0, wenn n einen quadratischen Primfaktor hat

16. Welches Konzept der Zahlentheorie beinhaltet die Suche nach ganzzahligen Lösungen für lineare Gleichungen mit mehreren Variablen?

A) Pellsche Gleichung
B) Diophantische Gleichungen
C) Eulers Theorem
D) Perfekte Zahlen

17. Wie lautet die Ordnung der Gruppe der ganzen Zahlen modulo 7 bei der Multiplikation modulo 7?

A) 7
B) 5
C) 6
D) 4

18. Wie hoch ist der Wert von φ(12), wobei φ die Eulersche Totalitätsfunktion ist?

A) 6
B) 10
C) 8
D) 4

19. Was ist die Ordnung von 2 modulo 11?

A) 9
B) 11
C) 5
D) 10

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