Computergestützte Zahlentheorie

1. Die rechnergestützte Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Verwendung von Computeralgorithmen und -techniken zur Untersuchung und Lösung von Problemen im Zusammenhang mit Zahlen beschäftigt. Sie umfasst den Einsatz von Rechenwerkzeugen zur Analyse zahlentheoretischer Konzepte und Phänomene wie Primzahlen, Faktorisierung, modulare Arithmetik und kryptografische Verfahren. Durch den Einsatz von Berechnungsmethoden können Forscher und Mathematiker komplexe zahlentheoretische Fragen untersuchen, effiziente Algorithmen zur Lösung mathematischer Probleme entwickeln und das Verhalten verschiedener Zahlenfolgen und Eigenschaften analysieren. Die rechnerische Zahlentheorie spielt eine entscheidende Rolle in der modernen Kryptografie, der Datenverschlüsselung und der Sicherheit digitaler Kommunikationssysteme und ist daher ein grundlegender Bereich der Mathematik und Informatik.

Welcher Algorithmus wird üblicherweise verwendet, um den größten gemeinsamen Teiler (GCD) von zwei ganzen Zahlen zu finden?

A) Das Sieb des Eratosthenes
B) Fermats kleiner Lehrsatz
C) Euklidischer Algorithmus
D) Binäre Suche

2. Wofür wird der Chinese Remainder Theorem in der Zahlentheorie verwendet?

A) Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche
B) Primzahlen finden
C) Berechnung von Faktorzahlen
D) Lösen von Systemen simultaner Kongruenzen

3. Was ist die kleinste Primzahl?

A) 2
B) 1
C) 5
D) 3

4. Was zählt die Funktion Eulersche Totientenfunktion?

A) Anzahl der geraden Zahlen kleiner als n
B) Anzahl der Primfaktoren von n
C) Anzahl der Teiler von n
D) Anzahl der positiven ganzen Zahlen kleiner als n, die zu n koprim sind

5. Was ist das Wilson'sche Theorem?

A) Das Produkt von k beliebigen aufeinanderfolgenden Zahlen ist durch k teilbar!
B) Jede Zahl ist eine Fakultät einer anderen Zahl
C) p ist eine Primzahl, wenn und nur wenn (p-1)! ≡ -1 (mod p)
D) Die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ist immer gerade

6. Wie viele Primzahlen gibt es zwischen 1 und 20 (einschließlich)?

A) 9
B) 7
C) 8
D) 6

7. Welches Theorem besagt, dass jede gerade ganze Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen ausgedrückt werden kann?

A) Goldbachsche Vermutung
B) Satz des Pythagoras
C) Der letzte Satz von Fermat
D) P vs. NP Problem

8. Was ist eine Sophie Germain prime?

A) Prime mit nur 1 Faktor
B) Primzahl größer als 100
C) Primzahl, deren Quadratwurzel prim ist
D) Primzahl p, so dass 2p + 1 ebenfalls prim ist

9. Wie wird der Miller-Rabin-Primatitätstest üblicherweise verwendet?

A) Ermittlung des GCD von zwei Zahlen
B) Sortieren von Zahlen in absteigender Reihenfolge
C) Prüfung der Primzahl von großen Zahlen
D) Berechnung der Fibonacci-Folge

10. Wie nennt man eine Zahl, die keine anderen positiven Teiler als 1 und sich selbst hat?

A) Zusammengesetzte Nummer
B) Primzahl
C) Gerade Zahl
D) Ungerade Zahl

11. Was ist eine Mersenne-Primzahl?

A) Primzahl größer als 1000
B) Primzahl mit genau 2 Faktoren
C) Perfektes Quadrat, das erstklassig ist
D) Primzahl, die um eins kleiner ist als eine Potenz von 2

12. Was wird mit der Divisor-Funktion σ(n) berechnet?

A) Anzahl der Primfaktoren von n
B) Anzahl der perfekten Zahlen kleiner als n
C) Summe aller positiven Teiler von n
D) Eulersche Totientenfunktion Wert von n

13. Was besagt der Wert des Legendre-Symbols (a/p), wenn p eine ungerade Primzahl ist?

A) Anzahl der Lösungen der Gleichung a² = p (mod m)
B) Gibt an, ob a ein quadratischer Rest modulo p ist
C) Anzahl der Teiler von p+a
D) Wert der Funktion f(a, p) = a^p

14. Was ist eine Niven-Nummer?

A) Primzahl größer als 100
B) Gerade Zahl kleiner als 10
C) Perfekte Zahl mit Primfaktoren
D) Ganze Zahl, die durch die Summe ihrer Ziffern teilbar ist

15. Wie ist die Mobius-Funktion für eine positive ganze Zahl n definiert?

A) μ(n) = n² - n für jede positive ganze Zahl n
B) μ(n) = 1, wenn n gerade ist und 0, wenn n ungerade ist
C) μ(n) = -1, wenn n eine Primzahl ist, sonst 0
D) μ(n) = 1, wenn n eine quadratfreie positive ganze Zahl mit einer geraden Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren ist, μ(n) = -1, wenn n quadratfrei mit einer ungeraden Anzahl von Primfaktoren ist, und μ(n) = 0, wenn n einen quadratischen Primfaktor hat

16. Welches Konzept der Zahlentheorie beinhaltet die Suche nach ganzzahligen Lösungen für lineare Gleichungen mit mehreren Variablen?

A) Perfekte Zahlen
B) Diophantische Gleichungen
C) Eulers Theorem
D) Pellsche Gleichung

17. Wie lautet die Ordnung der Gruppe der ganzen Zahlen modulo 7 bei der Multiplikation modulo 7?

A) 4
B) 7
C) 5
D) 6

18. Wie hoch ist der Wert von φ(12), wobei φ die Eulersche Totalitätsfunktion ist?

A) 8
B) 4
C) 10
D) 6

19. Was ist die Ordnung von 2 modulo 11?

A) 5
B) 10
C) 9
D) 11

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