- 1. Ein stochastischer Prozess ist ein mathematisches Objekt, das aus einer Sammlung von Zufallsvariablen besteht, die in der Regel durch die Zeit indiziert sind. Er stellt die Entwicklung eines Systems im Laufe der Zeit dar, wobei das Verhalten des Systems mit Unsicherheit oder Zufälligkeit behaftet ist. Stochastische Prozesse werden in verschiedenen Bereichen wie Finanzen, Physik, Biologie und Technik verwendet, um Zufallsphänomene zu modellieren und ihre Eigenschaften zu analysieren. Diese Prozesse können aufgrund ihrer Eigenschaften in verschiedene Typen eingeteilt werden, z. B. zeitdiskret oder zeitkontinuierlich, stationär oder nicht stationär, markovianisch oder nicht markovianisch, und bieten so einen leistungsfähigen Rahmen für die Untersuchung und das Verständnis komplexer, vom Zufall beeinflusster Systeme.
Was ist ein stochastischer Prozess?
A) Ein Prozess, der im Laufe der Zeit konstant bleibt.
B) Ein Prozess, der nur in diskreten Schritten abläuft.
C) Ein Zufallsprozess, der sich im Laufe der Zeit entwickelt.
D) Ein deterministischer Prozess mit festen Ergebnissen.
- 2. Was ist der Zustandsraum eines stochastischen Prozesses?
A) Exakter Wert des Prozesses zu einem bestimmten Zeitpunkt.
B) Durchschnittswert des Prozesses über die Zeit.
C) Menge aller möglichen Werte, die der Prozess annehmen kann.
D) Maximaler Wert, den der Prozess erreichen kann.
- 3. Wie ist bei einem Poisson-Prozess die Verteilung der Ankunftszeit zwischen den Ereignissen?
A) Exponentialverteilung
B) Normalverteilung
C) Gleichmäßige Verteilung
D) Bernoulli-Verteilung
- 4. Was bedeutet Ergodizität im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen?
A) Es können keine Rückschlüsse auf das langfristige Verhalten gezogen werden.
B) Das langfristige Durchschnittsverhalten lässt sich aus einer einzigen Realisierung ableiten.
C) Kurzfristige Analysen reichen aus, um langfristiges Verhalten zu verstehen.
D) Das Verhalten ist völlig zufällig.
- 5. Welcher der folgenden Prozesse gehört NICHT zu den stochastischen Prozessen?
A) Geometrisches Verfahren
B) Markov-Prozess
C) Deterministischer Prozess
D) Brownsche Bewegung
- 6. Was ist die Autokorrelationsfunktion eines stochastischen Prozesses?
A) Genaue Form des Prozesses zu einem bestimmten Zeitpunkt.
B) Maximal mögliche Korrelation für den Prozess.
C) Durchschnitt des Prozesses über die Zeit.
D) Maß für die Korrelation zwischen den Werten zu verschiedenen Zeitpunkten.
- 7. Welche Rolle spielt eine Übergangsmatrix in einer Markov-Kette?
A) Beschreibt die Wahrscheinlichkeiten für den Wechsel in verschiedene Zustände.
B) Berechnet die durchschnittliche Verweildauer in jedem Staat.
C) Gibt den Endzustand des Prozesses an.
D) Legt den Anfangszustand des Prozesses fest.
- 8. Was bedeutet das Gesetz der großen Zahlen im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen?
A) Die Durchschnittswerte der Stichprobe weichen von den erwarteten Werten ab.
B) Mit zunehmender Anzahl der Beobachtungen konvergieren die Durchschnittswerte der Stichprobe gegen die erwarteten Werte.
C) Die Zufälligkeit nimmt mit der Anzahl der Beobachtungen ab.
D) Die Erwartungswerte ändern sich mit der Anzahl der Beobachtungen.
- 9. In welchen Bereichen werden stochastische Prozesse häufig eingesetzt?
A) Biologie, Chemie, Ökologie, Neurowissenschaften, Physik, Bildverarbeitung, Signalverarbeitung, Regelungstechnik, Informationstheorie, Informatik und Telekommunikation.
B) Ausschließlich in Mathematik und Statistik.
C) Vor allem in der Linguistik und Anthropologie.
D) Nur in den Bereichen Finanzen und Wirtschaft.
- 10. Wer hat den Poisson-Prozess verwendet, um Telefonanrufe zu modellieren?
A) Louis Bachelier.
B) Andrej Kolmogorow.
C) A. K. Erlang.
D) Albert Einstein.
- 11. Was ist ein stochastischer Prozess mit reellen Werten?
A) Er kann nur ganzzahlige Werte annehmen.
B) Der Zustandsraum ist endlich.
C) Der Zustandsraum ist die reelle Zahlengerade.
D) Die Indexmenge besteht aus ganzen Zahlen.
- 12. In welchem Jahr tauchte das Wort 'stochastisch' laut historischen Aufzeichnungen erstmals im Englischen auf?
A) 1888
B) 1713
C) 1662
D) 1934
- 13. Wer hat den Begriff „Stochastik“ im Deutschen mit der Bedeutung von Zufall geprägt?
A) Joseph Doob
B) Ladislaus Bortkiewicz
C) Aleksandr Khinchin
D) Jakob Bernoulli
- 14. Wer hat den Begriff „zufällige Funktion“ im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen zuerst verwendet?
A) Joseph Doob
B) Francis Edgeworth
C) Aleksandr Chinchin
D) Andrei Kolmogorov
- 15. Wann wurde das Wort 'random' (zufällig) im Englischen zum ersten Mal in seiner heutigen Bedeutung verwendet?
A) 18. Jahrhundert
B) 16. Jahrhundert
C) 17. Jahrhundert
D) 14. Jahrhundert
- 16. Welcher Mathematiker hat den Begriff „stochastischer Prozess“ im Deutschen verwendet?
A) Ladislaus Bortkiewicz
B) Jakob Bernoulli
C) Andrej Kolmogorow
D) Aleksandr Chinchin
- 17. In welchem Werk verwendete Jakob Bernoulli den Ausdruck "Ars Conjectandi sive Stochastice"?
A) Ars Conjectandi
B) Principia Mathematica
C) De Motu Corporum
D) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica
- 18. Was ist der etymologische Ursprung des Wortes 'zufällig'?
A) Ein lateinisches Wort, das 'Zufall' bedeutet.
B) Ein griechisches Wort, das 'auf ein Ziel zielen' bedeutet.
C) Ein altfranzösisches Wort, das 'Geschwindigkeit, Eile' bedeutet.
D) Ein altenglischs Wort, das 'Glück' bedeutet.
- 19. Was ist die früheste dokumentierte Verwendung des Begriffs "zufälliger Prozess"?
A) 1934
B) 1662
C) 1888
D) 1713
- 20. Wer hat den Begriff „stochastischer Prozess“ früher verwendet als Aleksandr Chinchin?
A) Jakob Bernoulli
B) Andrej Kolmogorow
C) Ladislaus Bortkiewicz
D) Joseph Doob
- 21. Welche Notation stellt einen stochastischen Prozess korrekt dar?
A) {X(t)}_{t∈T}
B) {X_t}
C) {X_t}_{t∉T}
D) X(t)
- 22. Wie kann ein stochastischer Prozess falsch dargestellt werden?
A) {X_t}_{t∈T}
B) {X_t}
C) X(t)
D) {X(t)}_{t∈T}
- 23. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bernoulli-Experiment das Ergebnis 'Erfolg' liefert?
A) 1-p
B) t
C) p
D) 0,5
- 24. Was repräsentiert jede Zufallsvariable in einem Bernoulli-Prozess?
A) Ein deterministisches Ergebnis
B) Eine idealisierte Münzwurf-Situation
C) Ein Poisson-Ereignis
D) Eine kontinuierliche Verteilung
- 25. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bernoulli-Versuch das Ergebnis Null liefert?
A) p
B) 0,5
C) 1-p
D) t
- 26. Welche Indexmenge ist für einen Bernoulli-Prozess definiert, der bei Zeit null beginnt?
A) [0, ∞)
B) [1, ∞)
C) {0, 1, 2, ...}
D) (-∞, ∞)
- 27. Wie kann ein Bernoulli-Prozess idealisiert werden?
A) Ziehen von Karten aus einem Kartenspiel
B) Wiederholtes Werfen einer Münze
C) Würfeln mit einem Würfel
D) Messen von Zeitintervallen
- 28. Welchen Wert hat ein Misserfolg (oder eine Null) in einem Bernoulli-Prozess?
A) Null
B) Eins
C) p
D) t
- 29. Bei einem einfachen Zufallsprozess, welche Werte können die einzelnen Bernoulli-Variablen annehmen?
A) Jede reelle Zahl
B) +1 oder -1
C) -1 oder 0
D) 0 oder 1
- 30. Was ist der Zustandsraum für einen einfachen Zufallsprozess?
A) Rationale Zahlen
B) Natürliche Zahlen
C) Ganzzahlen
D) Reelle Zahlen
- 31. Welche Indexmenge hat ein einfacher Zufallsweg?
A) Natürliche Zahlen
B) Komplexe Zahlen
C) Ganzzahlen
D) Reelle Zahlen
- 32. Wer hat den mathematischen Beweis für die Existenz des Wiener-Prozesses erbracht?
A) Norbert Wiener
B) Andrej Kolmogorow
C) Albert Einstein
D) Kiyoshi Itô
- 33. Wie wird der Wiener-Prozess aufgrund seiner historischen Verbindung auch genannt?
A) Poisson-Prozess
B) Brownsche Bewegung
C) Markov-Kette
D) Lévy-Flug
- 34. In welchem n-dimensionalen euklidischen Raum kann der Zustandsraum eines Wiener-Prozesses verallgemeinert werden?
A) 1-dimensional
B) 2-dimensional
C) n-dimensional
D) 3-dimensional
- 35. In welchem Bereich wird der Wiener-Prozess hauptsächlich in der stochastischen Analysis verwendet?
A) Quantitative Finanzmathematik
B) Elektromagnetismus
C) Klassische Mechanik
D) Thermodynamik
- 36. Welches Modell verwendet den Wiener-Prozess im Bereich der quantitativen Finanzanalyse?
A) Capital Asset Pricing Model (CAPM)
B) Black-Scholes-Merton-Modell
C) Hypothese des effizienten Marktes
D) Moderne Portfoliotheorie
- 37. Welche Bedingung muss für t1 und t2 erfüllt sein, um eine Inkrementierung zu definieren?
A) t1 ≤ t2.
B) t1 = t2.
C) t1 und t2 sind unabhängig.
D) t1 > t2.
- 38. Im Kontext von stochastischen Prozessen, was bedeutet das Symbol '∘'?
A) Mengenüberschneidung.
B) Vereinigung von Mengen.
C) Funktionskomposition.
D) Wahrscheinlichkeitsmaß.
- 39. Für einen stationären stochastischen Prozess: Was bleibt unter Zeitverschiebungen unverändert?
A) Der Mittelwert und die Varianz.
B) Das zweite Moment.
C) Die Indexmenge.
D) Endliche Dimensionen der Verteilungen.
- 40. Welche mathematische Struktur besitzt die Indexmenge T im Zusammenhang mit der Filtration?
A) Eine totale Ordnung.
B) Eine ungeordnete Menge.
C) Eine partielle Ordnung.
D) Keine spezifische Ordnung.
- 41. Welcher Begriff wird synonym zu „Modifikation“ für stochastische Prozesse verwendet?
A) Äquivalent
B) Version
C) Modifikation
D) Stochastische Äquivalenz
- 42. Wer hat das Konzept der Separabilität für stochastische Prozesse eingeführt?
A) Paul Lévy
B) Norbert Wiener
C) Andrej Kolmogorow
D) Joseph Doob
- 43. Welche Eigenschaften muss die Indexmenge eines stochastischen Prozesses aufweisen, damit dieser als separierbar betrachtet wird?
A) Keine spezifischen Eigenschaften.
B) Eine unendliche Anzahl von Elementen.
C) Eine endliche Anzahl von Elementen.
D) Eine abzählbar dichte Teilmenge.
- 44. Welche Eigenschaft haben stochastische Prozesse mit diskreten Zeitpunkten hinsichtlich ihrer Separierbarkeit?
A) Ihre Separierbarkeit hängt vom Zustandsraum S ab.
B) Für ihre Separierbarkeit ist eine dichte, abzählbare Teilmenge ihres Indexmengen erforderlich.
C) Sie können nicht separierbar sein.
D) Sie sind immer separierbar.
- 45. Was repräsentiert die Notation 𝓕 im Kontext von stochastischen Prozessen?
A) Eine Sigma-Algebra auf Ω.
B) Eine Indexmenge für die Zeit.
C) Ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
D) Eine Zufallsvariable.
- 46. Welches Symbol kennzeichnet den Erwartungswert in der Formel für die Kreuzkovarianz?
A) R
B) V
C) C
D) E
- 47. Wie ist die Beziehung zwischen Unabhängigkeit und Unkorreliertheit für stochastische Prozesse?
A) Orthogonalität impliziert Unabhängigkeit.
B) Es sind unzusammenhängende Konzepte.
C) Unabhängigkeit impliziert Unkorreliertheit.
D) Unkorreliertheit impliziert Unabhängigkeit.
- 48. Wofür steht die Abkürzung càdlàg?
A) Weiter rechts, beschränkt nach links (rechtsseitig stetig mit linksseitigen Grenzen).
B) Kumulative Verteilungsfunktion.
C) Graph mit konstanter Amplitude und linearer Darstellung.
D) Stetig und differenzierbar an allen Punkten.
- 49. Wer hat die Funktionräume von Skorochod eingeführt?
A) Paul Lévy
B) Norbert Wiener
C) Andrej Kolmogorow
D) Anatoliy Skorochod
- 50. Wie lautet die übliche Notation für einen Skorochod-Funktionsraum?
A) C
B) S
C) D
D) F
- 51. Welche sind die wichtigsten Anwendungsbereiche von Markov-Prozessen?
A) Analyse linearer Regressionsmodelle
B) Simulation nicht-zufälliger Objekte
C) Lösen deterministischer Differentialgleichungen
D) Markov-Ketten-Monte-Carlo-Methoden in der Bayes'schen Statistik
- 52. Welche Eigenschaft stellt sicher, dass die Verteilung einer Inkrementerhöhung in einem Lévy-Prozess durch die Länge des Intervalls bestimmt wird?
A) Stationarität
B) Unabhängigkeit
C) Stetigkeit
D) Markov-Eigenschaft
- 53. Was motivierte den Briefwechsel zwischen Pierre de Fermat und Blaise Pascal?
A) Das Studium der Geometrie.
B) Die Erfindung der Algebra.
C) Die Entwicklung der Analysis (Infinitesimalrechnung).
D) Ein Problem im Zusammenhang mit Glücksspielen.
- 54. Wer leistete 1859 einen bedeutenden Beitrag zur kinetischen Gastheorie?
A) Rudolf Clausius
B) Josiah Gibbs
C) James Clerk Maxwell
D) Ludwig Boltzmann
- 55. Welcher Wissenschaftler hatte mit seinen frühen Versuchen, Zufälligkeit in die statistische Physik zu integrieren, wenig Einfluss?
A) Rudolf Clausius
B) James Clerk Maxwell
C) Ludwig Boltzmann
D) Josiah Gibbs
- 56. Welche wissenschaftliche Disziplin, die sich im 19. Jahrhundert entwickelte, konzentriert sich auf die statistische Behandlung physikalischer Systeme?
A) Quantenmechanik
B) Thermodynamik
C) Klassische Mechanik
D) Statistische Mechanik
- 57. Wer präsentierte Hilberts sechste Problem beim Internationalen Mathematikerkongress im Jahr 1900?
A) Andrei Kolmogorov
B) David Hilbert
C) Paul Lévy
D) Henri Lebesgue
- 58. Wer hat das erste Buch über Wahrscheinlichkeit veröffentlicht, das 1925 Ideen aus der Maßtheorie verwendete?
A) Andrei Kolmogorov
B) Sergei Bernstein
C) Paul Lévy
D) Émile Borel
- 59. In welchem Jahr veröffentlichte Andrei Kolmogorow sein Buch über die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie?
A) 1929
B) 1945
C) 1925
D) 1933
- 60. Wie lautet der Titel des Buches von Andrei Kolmogorow aus dem Jahr 1933 über Wahrscheinlichkeitstheorie?
A) Einführung in die Maßtheorie
B) Fundamente der Wahrscheinlichkeitstheorie
C) Die Theorie stochastischer Prozesse
D) Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 61. Wer bezeichnete die 1930er Jahre als die "heroische Periode der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie"?
A) Andrei Kolmogorov
B) William Feller
C) Harald Cramér
D) Joseph Doob
- 62. Welches Ereignis unterbrach die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie während des Zweiten Weltkriegs erheblich?
A) Der Zweite Weltkrieg
B) Die Weltwirtschaftskrise
C) Die Russische Revolution
D) Der Kalte Krieg
- 63. Wer gilt als Pionier auf dem Gebiet der stochastischen Prozesse und starb während des Zweiten Weltkriegs?
A) Andrej Kolmogorow
B) Paul Lévy
C) Wolfgang Doeblin
D) Harald Cramér
- 64. Welche Mathematikerin oder welcher Mathematiker leistete in den 1920er Jahren grundlegende Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie in der Sowjetunion?
A) Émile Borel
B) Sergei Bernstein
C) Paul Lévy
D) Henri Lebesgue
- 65. Wer hat maßgeblich zur Entwicklung des Gebiets der stochastischen Analysis ab den 1940er Jahren beigetragen?
A) Joseph Doob
B) Sergei Bernstein
C) Kiyosi Itô
D) Gilbert Hunt
- 66. Wer stellte in den 1940er Jahren frühe Verbindungen zwischen stochastischen Prozessen und der Potentialtheorie her?
A) Shizuo Kakutani
B) Kiyosi Itô
C) Paul-André Meyer
D) Gilbert Hunt
- 67. Welche Mathematikerin oder welcher Mathematiker hat in den 1950er Jahren Arbeiten veröffentlicht, die Markov-Prozesse und Potentialtheorie miteinander verbanden?
A) Shizuo Kakutani
B) Joseph Doob
C) Gilbert Hunt
D) Sergei Bernstein
- 68. In welchem Jahr veröffentlichte Joseph Doob sein einflussreiches Buch über stochastische Prozesse?
A) 1960
B) 1953
C) 1945
D) 1970
- 69. Wer hat den Begriff „Martingal“ für einen stochastischen Prozess eingeführt?
A) Jean Ville
B) Kiyosi Itô
C) Gilbert Hunt
D) Joseph Doob
- 70. Welcher Mathematiker erhielt den Abel-Preis im Jahr 2007 für Arbeiten im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen?
A) Srinivasa Varadhan
B) Gilbert Hunt
C) Alexander Wentzell
D) Paul-André Meyer
- 71. Welche Theorie wurde in den 1990er Jahren vorgestellt und führte dazu, dass Wendelin Werner mit der Fields-Medaille ausgezeichnet wurde?
A) Schramm–Loewner-Evolution
B) Theorie großer Abweichungen
C) Stochastische Analysis
D) Potentialtheorie
- 72. Wer wurde 2014 mit der Fields-Medaille für die Entwicklung der Theorie der „rauen Pfade“ ausgezeichnet?
A) Wendelin Werner
B) Srinivasa Varadhan
C) Martin Hairer
D) Gilbert Hunt
- 73. Welche Mathematikerin oder welcher Mathematiker hat mit ihrer/seiner späteren Arbeit in der Sowjetunion zur Theorie der großen Abweichungen beigetragen?
A) Alexander Wentzell
B) Joseph Doob
C) Kiyosi Itô
D) Gilbert Hunt
- 74. In welchem Jahr prägte Karl Pearson den Begriff "zufällige Bewegung" (engl. "random walk")?
A) 1930er Jahre
B) 1905
C) 1713
D) 1919
- 75. Welches Problem ist ein Beispiel für einen Zufallsprozess mit absorbierenden Barrieren?
A) Glücksspiel-Ruinszenario
B) Punktprozess
C) Erneuerungsprozess
D) Brownsche Bewegung
- 76. Wer hat Bernoulli-Versuche verwendet, um Glücksspiele zu untersuchen?
A) George Pólya
B) Karl Pearson
C) Christiaan Huygens
D) Jakob Bernoulli
- 77. Wer hat einen frühen Beitrag zur Entdeckung der statistischen Methode namens Kalman-Filterung durch seine Arbeit im Bereich der Zeitreihenanalyse geleistet?
A) Thorvald Thiele
B) Louis Bachelier
C) Norbert Wiener
D) Albert Einstein
- 78. In welchem Jahr verwendete Louis Bachelier einen Wiener-Prozess, um Preisänderungen an der Pariser Börse zu modellieren?
A) 1912
B) 1950er Jahre
C) 1900
D) 1880
- 79. Wer veröffentlichte im Jahr 1905 eine Arbeit, die die Brownsche Bewegung untersuchte, um zufällige Bewegungen von Teilchen in Flüssigkeiten zu erklären?
A) Marian Smoluchowski
B) Jean Perrin
C) Albert Einstein
D) Percy Daniell
- 80. Wer hat Bacheliers These ins Englische übersetzt und damit zu ihrer Verbreitung beigetragen?
A) Leonard Savage
B) Jean Perrin
C) Thorvald Thiele
D) Percy Daniell
- 81. Welcher Mathematiker ist dafür bekannt, unabhängig von Einsteins Arbeit Ergebnisse zu entwickeln, die äquivalent dazu sind?
A) Norbert Wiener
B) Marian Smoluchowski
C) Leonard Savage
D) Louis Bachelier
- 82. In welchem Jahrzehnt begannen Ökonomen, auf Bacheliers ursprüngliche Arbeit häufiger Bezug zu nehmen als auf sein Buch?
A) 1960er Jahre
B) 1950er Jahre
C) 1900er Jahre
D) 1920er Jahre
- 83. Welche Art von Gleichung leitete Albert Einstein ab, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Teilchen in der Brownschen Bewegung zu beschreiben?
A) Differentialgleichung
B) Fourier-Gleichung
C) Methode der kleinsten Quadrate (Least Squares Equation)
D) Diffusionsgleichung
- 84. Wer gilt als Pionier des Bereichs der Finanzmathematik mit seiner Arbeit über Preisänderungen?
A) Louis Bachelier
B) Norbert Wiener
C) Thorvald Thiele
D) Albert Einstein
- 85. In welchem Hauptbereich lag die Forschungsarbeit von Thorvald Thiele zu seiner Methode der kleinsten Quadrate?
A) Maßtheorie
B) Physik
C) Zeitreihenanalyse
D) Finanzmathematik
- 86. Welcher Mathematiker entwickelte eine Maßtheorie, die Norbert Wiener in seiner Arbeit über den Wiener-Prozess verwendete?
A) Marian Smoluchowski
B) Albert Einstein
C) Percy Daniell
D) Louis Bachelier
- 87. In welchem Jahr veröffentlichte Filip Lundberg seine Dissertation über den Poisson-Prozess?
A) 1920
B) 1903
C) 1910
D) 1909
- 88. In welchem Bereich lag Filip Lundbergs bahnbrechende Arbeit, als er vorschlug, Modelle mit einem homogenen Poisson-Prozess zu erstellen?
A) Telefonanrufe
B) Alpha-Teilchen
C) Versicherungsansprüche
D) Differentialgleichungen
- 89. Welche Forscherin oder welcher Forscher hat mit ihrer/seiner Arbeit zur Zählung von Alpha-Teilchen die unabhängige Entdeckung des Poisson-Prozesses ermöglicht?
A) Filip Lundberg
B) Siméon Poisson
C) Harry Bateman
D) A.K. Erlang
- 90. In welchem Jahr veröffentlichte Andrej Markov seine erste Arbeit über Markov-Ketten?
A) 1928
B) 1906
C) 1931
D) 1912
- 91. Wer hat Markov-Ketten auf endlichen Gruppen untersucht, um das Mischen von Karten zu analysieren?
A) Sydney Chapman
B) Henri Poincaré
C) Andrej Kolmogorow
D) Maurice Fréchet
- 92. Wer entdeckte unabhängig von Galton und Watson einen verzweigten Prozess?
A) Irénée-Jules Bienaymé
B) Andrej Markov
C) Maurice Fréchet
D) Sydney Chapman
- 93. In welchem Jahr begann Maurice Fréchet seine Studien über Markov-Ketten?
A) 1907
B) 1931
C) 1928
D) 1912
- 94. Wer leitete die Chapman-Kolmogorov-Gleichung im Jahr 1928 ab?
A) Louis Bachelier
B) Norbert Wiener
C) Sydney Chapman
D) Andrej Kolmogorow
- 95. Wer hat maßgeblich zur Entwicklung der Grundlagen von Markov-Prozessen ab den 1930er Jahren beigetragen?
A) Louis Bachelier
B) Sydney Chapman
C) Paul Ehrenfest
D) William Feller
- 96. Wer begann, ab den 1950er Jahren Beiträge zum Gebiet der Markov-Prozesse zu leisten?
A) Andrej Kolmogorow
B) Eugene Dynkin
C) Henri Poincaré
D) Maurice Fréchet
- 97. In welchem Jahr leitete Kolmogorov eine charakteristische Funktion für Zufallsvariablen ab, die mit Lévy-Prozessen in Verbindung stehen?
A) 1934
B) 1928
C) 1937
D) 1932
- 98. Welcher Satz wird verwendet, um die Existenz eines stochastischen Prozesses mit bestimmten endlichen Dimensionsverteilungen zu beweisen?
A) Itôs Lemma
B) Existenzsatz von Kolmogorov
C) Zentraler Grenzwertsatz
D) Kontinuitätssatz von Lévy
- 99. Welche zwei Bedingungen müssen endliche Dimensionen aufweisen, um den Existenzsatz von Kolmogorow zu erfüllen?
A) Linearität und Stetigkeit
B) Konsistenzbedingungen
C) Normalität und Stationarität
D) Unabhängigkeit und gleiche Verteilung
- 100. Welche Art von Modell berücksichtigt Zufälligkeiten bei Geburten, Todesfällen und Migration in der Bevölkerungsdynamik?
A) Nichtlineare Modelle
B) Deterministische Modelle
C) Lineare Modelle
D) Stochastische Modelle
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