Teoría de grupos

1. La teoría de grupos es una rama del álgebra abstracta que se ocupa del estudio de estructuras matemáticas denominadas grupos. Un grupo es un conjunto dotado de una operación que combina dos elementos cualesquiera para producir un tercer elemento de forma que se cumplan ciertas propiedades, como el cierre, la asociatividad, el elemento identidad y la invertibilidad. La teoría de grupos tiene aplicaciones en diversos campos, como las matemáticas, la física, la química y la informática. Proporciona un marco para comprender la simetría, las transformaciones y los patrones, y tiene profundas implicaciones en el estudio de los grupos de simetría, las representaciones de grupos y las acciones de grupos.

¿Qué es el elemento de identidad de un grupo?

A) Elemento más pequeño del grupo.
B) Un elemento que es el más grande del grupo.
C) Un elemento del grupo tal que al combinarse con cualquier otro elemento, el resultado es ese otro elemento.
D) Un número par en el grupo.

2. ¿Qué significa que una operación de grupo sea asociativa?

A) Para todos los elementos a, b del grupo, a * b = b * a.
B) Para todos los elementos a, b, c del grupo, (a * b) * c = a * (b * c).
C) Para todos los elementos a, b del grupo, a = a * b.
D) Para todos los elementos a, b, c del grupo, (a + b) * c = a * (b * c).

3. ¿Qué es el teorema de Lagrange en teoría de grupos?

A) El elemento más grande de un grupo.
B) La suma de todos los elementos de un grupo es igual a cero.
C) En un grupo finito, el orden de un subgrupo divide al orden del grupo.
D) Un teorema sobre álgebra lineal.

4. ¿Qué es un grupo abeliano?

A) Grupo en el que la operación se define sólo para números impares.
B) Grupo en el que la operación de grupo es conmutativa.
C) Grupo sin elemento de identidad.
D) Grupo con un solo elemento.

5. ¿Qué significa que un grupo sea cíclico?

A) Grupo cuyos elementos pueden tener varios inversos.
B) Un grupo sin operación definida.
C) Grupo sin elemento de identidad.
D) Grupo generado por un único elemento.

6. ¿Cuál es la definición del centro de un grupo?

A) La suma de todos los elementos de un grupo.
B) Conjunto de elementos que conmutan con cada elemento del grupo.
C) El conjunto de los inversos del grupo.
D) El elemento más grande del grupo.

7. ¿Cuál es la definición del orden de un grupo?

A) El elemento más pequeño del grupo.
B) El número de elementos del grupo.
C) El elemento más grande del grupo.
D) La suma de todos los elementos del grupo.

8. ¿Cuál es la definición de grupo cociente?

A) El elemento más grande del grupo.
B) Grupo sin elemento de identidad.
C) El grupo de cosets de un subgrupo normal.
D) La suma de todos los elementos de un grupo.

9. ¿Cuál es la definición de grupo diedro?

A) Grupo sin elemento de identidad.
B) Grupo con un solo elemento.
C) Un grupo de números enteros.
D) Grupo de simetrías de un polígono regular.

10. ¿Cuál es la definición de grupo simétrico?

A) El grupo de todas las permutaciones de un conjunto.
B) Grupo con un solo elemento.
C) Un grupo de números enteros.
D) Grupo sin elemento de identidad.

11. ¿Qué es un grupo de permutación?

A) Grupo con un solo elemento.
B) Grupo sin elemento de identidad.
C) Un grupo de números enteros.
D) Grupo cuyos elementos son permutaciones de un conjunto y cuya operación es la composición de permutaciones.

12. ¿Qué es el teorema de Cayley en teoría de grupos?

A) Un teorema sobre álgebra lineal.
B) El elemento más grande de un grupo.
C) La suma de todos los elementos de un grupo.
D) Todo grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones.

13. ¿Cuál es la definición de subgrupo conmutador?

A) Grupo sin elemento de identidad.
B) El subgrupo generado por todos los conmutadores.
C) La suma de todos los elementos de un grupo.
D) El elemento más grande del grupo.

14. ¿Cuál es la definición de un automorfismo de un grupo?

A) Grupo sin elemento de identidad.
B) Grupo con un solo elemento.
C) Un grupo de números enteros.
D) Un isomorfismo de un grupo a sí mismo.

15. ¿A qué se refiere el término "clase de conjugación" en la teoría de grupos?

A) Grupo con un solo elemento.
B) Un grupo de números enteros.
C) Conjunto de elementos que son todos conjugados entre sí.
D) Grupo sin elemento de identidad.

16. ¿Qué significa que dos grupos sean isomorfos?

A) El elemento más pequeño de los grupos es el mismo.
B) Los grupos tienen la misma estructura, aunque los elementos puedan estar etiquetados de forma diferente.
C) La suma de todos los elementos de un grupo es la misma.
D) El elemento más grande del grupo es idéntico.

17. ¿Cuál es la definición de homomorfismo entre dos grupos?

A) El elemento más pequeño del grupo.
B) Función entre dos grupos que preserva la estructura del grupo.
C) La suma de todos los elementos de un grupo.
D) El elemento más grande del grupo.

18. ¿Cuál es la definición de grupo alterno?

A) Grupo sin elemento de identidad.
B) Un grupo de números enteros.
C) Grupo con un solo elemento.
D) Subgrupo del grupo simétrico formado por permutaciones pares.

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