Mecánica lagrangiana - Examen
  • 1. La mecánica lagrangiana es un marco matemático para describir la dinámica de sistemas mecánicos en términos de coordenadas, velocidades y fuerzas generalizadas. Se basa en el principio de acción estacionaria, según el cual la dinámica de un sistema se deriva de una única función denominada lagrangiano. El lagrangiano se define como la diferencia entre las energías cinética y potencial del sistema y codifica toda la información necesaria para describir el comportamiento del sistema. Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange a la lagrangiana, se obtienen las ecuaciones de movimiento del sistema, que proporcionan una forma potente y elegante de analizar y resolver problemas mecánicos. La mecánica lagrangiana se utiliza ampliamente en física e ingeniería para estudiar diversos sistemas, desde simples péndulos hasta complejos sistemas multicuerpo, y ofrece un enfoque más general y versátil que la mecánica newtoniana clásica.

    ¿Quién formuló el formalismo de la mecánica lagrangiana?
A) Isaac Newton
B) James Clerk Maxwell
C) Joseph-Louis Lagrange
D) Galileo Galilei
  • 2. El Lagrangiano se define como la diferencia entre ¿cuál de las siguientes energías?
A) Energía térmica y mecánica
B) Energía eléctrica y magnética
C) Energía interna y externa
D) Energía cinética y potencial
  • 3. ¿Cuál es la función utilizada en la mecánica lagrangiana que describe la evolución de un sistema físico a lo largo del tiempo?
A) Reacción
B) Masa
C) Fuerza
D) Acción
  • 4. ¿En qué marco matemático se derivan las ecuaciones de movimiento de la mecánica lagrangiana?
A) Ecuaciones diferenciales
B) Álgebra lineal
C) Cálculo de variaciones
D) Cálculo vectorial
  • 5. ¿Cuál es la función lagrangiana de un sistema?
A) Masa y velocidad
B) Coordenadas cartesianas y sus derivadas temporales
C) Energía potencial y velocidad
D) Coordenadas generalizadas, sus derivadas temporales y el tiempo
  • 6. ¿Qué principio de la mecánica lagrangiana afirma que la naturaleza tiende a tomar caminos que minimizan o maximizan una determinada cantidad?
A) Ley de Ohm
B) Segunda ley de Newton
C) Principio de mínima acción
D) Ley de Hooke
  • 7. ¿Cuál es el término utilizado para describir un conjunto de coordenadas que definen de forma única la configuración de un sistema en mecánica lagrangiana?
A) Coordenadas esféricas
B) Coordenadas polares
C) Coordenadas generalizadas
D) Coordenadas cartesianas
  • 8. En mecánica lagrangiana, ¿cómo se denomina un pequeño cambio en la configuración de un sistema?
A) Desplazamiento dinámico
B) Desplazamiento estacionario
C) Desplazamiento real
D) Desplazamiento virtual
  • 9. ¿En qué año presentó Joseph-Louis Lagrange su trabajo sobre la mecánica lagrangiana a la Academia de Ciencias de Turín?
A) 1755
B) 1788
C) 1803
D) 1760
  • 10. ¿Cuántas coordenadas son necesarias para definir de forma única la configuración de un sistema con N partículas en un espacio tridimensional?
A) N
B) 3N
C) 9
D) 6N
  • 11. ¿Qué establece la segunda ley de Newton en el contexto de un sistema de N partículas?
A) El momento siempre es cero.
B) La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
C) La energía se conserva en todas las interacciones.
D) La fuerza neta es igual a la masa por la aceleración para cada partícula.
  • 12. ¿Cuál es la cantidad fundamental de la mecánica lagrangiana?
A) La función de fuerza
B) El lagrangiano
C) El hamiltoniano
D) La energía cinética
  • 13. En ausencia de un campo electromagnético, ¿cuál es el lagrangiano no relativista para un sistema de partículas?
A) L = T - V
B) L = T + V
C) L = 2T - V
D) L = V - T
  • 14. ¿Cómo se expresa la energía cinética total 'T' para un sistema de partículas?
A) T = Σ (desde k=1 hasta N) m_k * v_k
B) T = (1/3) Σ (desde k=1 hasta N) m_k * v_k2
C) T = Σ (desde k=1 hasta N) m_k2 * v_k
D) T = (1/2) Σ (desde k=1 hasta N) m_k * v_k2
  • 15. ¿Cómo varía la energía potencial 'V' si existe un campo externo o una fuerza impulsora que cambia con el tiempo?
A) V = V(r1, r2, ...)
B) V = V(v1, v2, ...)
C) V permanece constante
D) En términos generales, V = V(r1, r2, ..., v1, v2, ..., t)
  • 16. ¿Puede considerarse cualquier función como un lagrangiano si genera las ecuaciones de movimiento correctas?
A) Solo si incluye la energía cinética.
B) Sí, de acuerdo con las leyes de la física.
C) Solo si excluye la energía potencial.
D) No, solo funciones específicas pueden utilizarse.
  • 17. ¿Qué se introduce junto con el lagrangiano para tener en cuenta las fuerzas disipativas como la fricción?
A) Símbolos de Christoffel
B) Función de energía potencial
C) Función de disipación de Rayleigh
D) Ecuaciones de restricción
  • 18. ¿Qué tipos de restricciones puede manejar directamente la mecánica lagrangiana?
A) Fuerzas disipativas
B) Restricciones no holonómicas
C) Restricciones relativistas
D) Restricciones holonómicas
  • 19. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es un ejemplo de una restricción no holonómica?
A) Restricciones que dependen de las velocidades de las partículas.
B) Restricciones que son integrables.
C) Restricciones que incluyen desigualdades.
D) Restricciones que involucran fricción.
  • 20. En el contexto de la mecánica lagrangiana, ¿qué representan las geodésicas para las partículas libres?
A) Trayectorias o caminos que representan un extremo (máximo o mínimo).
B) Trayectorias curvas en el espacio-tiempo.
C) Caminos con energía máxima.
D) Caminos de aceleración no lineal.
  • 21. ¿Cuál es la importancia de las geodésicas en el espacio real tridimensional plano?
A) Representan trayectorias de máxima energía.
B) Son trayectorias de aceleración no lineal.
C) Son líneas rectas.
D) Son trayectorias curvas.
  • 22. ¿Cuál es la relación entre la segunda ley de Newton y las geodésicas para partículas libres?
A) Las geodésicas representan las trayectorias de fuerza máxima.
B) Las partículas libres siguen geodésicas, que son trayectorias extremas.
C) La segunda ley de Newton no está relacionada con las geodésicas.
D) Las partículas libres se desvían de las geodésicas debido a las fuerzas.
  • 23. ¿Quién introdujo el principio de D'Alembert en 1708?
A) Joseph-Louis Lagrange
B) Isaac Newton
C) Jacques Bernoulli
D) Leonhard Euler
  • 24. ¿En qué año desarrolló D'Alembert este principio para resolver problemas dinámicos?
A) 1755
B) 1788
C) 1743
D) 1708
  • 25. ¿En qué nos permite enfocarnos el principio de D'Alembert en las ecuaciones del movimiento?
A) Tanto en las fuerzas restringidas como en las no restringidas.
B) Solo en las fuerzas restringidas.
C) En los cambios de energía potencial.
D) Solo en las fuerzas no restringidas aplicadas.
  • 26. ¿Por qué no se puede utilizar fácilmente el principio de D'Alembert para establecer ecuaciones de movimiento en un sistema de coordenadas arbitrario?
A) Solo se puede aplicar al equilibrio estático.
B) El principio solo es válido para sistemas lineales.
C) Los desplazamientos podrían estar relacionados por una ecuación de restricción.
D) Requiere el conocimiento de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema.
  • 27. ¿Cuál es la forma de las ecuaciones de Lagrange después de una transformación de coordenadas?
A) (d/dt)(∂L'/∂Q̇i) = ∂L'/∂Qi + Σj λj (∂ϕ'j/∂Qi).
B) (d/dt)(∂L'/∂Qi) = ∂L'/∂Q̇i + Σj λj (∂ϕ'j/∂Q̇i).
C) (d/dt)(∂L/∂q̇i) = ∂L/∂qi.
D) (d/dt)(∂L'/∂Qi) = Σj λj (∂ϕ'j/∂Q̇i).
  • 28. ¿Qué teorema relaciona las cantidades conservadas con las simetrías en el lagrangiano?
A) Teorema de Noether
B) Teorema de Lagrange
C) Teorema de Newton
D) Teorema de Euler
  • 29. En la mecánica lagrangiana, ¿qué representa el símbolo ∇ en el contexto de las fuerzas?
A) El operador divergencia
B) El operador gradiente
C) Un potencial escalar
D) El operador rotacional (o rotación)
  • 30. ¿Qué representa el término ∂L/∂x˙ en la mecánica lagrangiana?
A) m x˙
B) -∂V/∂x
C) ∇V
D) d/dt(∂L/∂x)
  • 31. En la mecánica lagrangiana, ¿qué representa el término d/dt(∂L/∂ẋ)?
A) m ẋ
B) m x¨
C) -∂V/∂x
D) ∂L/∂x
  • 32. ¿Qué variable en el sistema de coordenadas esféricas es cíclica, lo que indica que no aparece explícitamente en el lagrangiano?
A) φ
B) r
C) θ
D) m
  • 33. ¿Qué se conserva debido a que φ es una coordenada cíclica?
A) Momento lineal pr
B) Momento angular pφ
C) Energía cinética (1/2)mv²
D) Energía potencial V(r)
  • 34. ¿Cuál es la expresión para el momento angular conservado pφ en coordenadas esféricas?
A) pφ = m(r²θ̇ + sin(θ)φ̇)
B) pφ = m(r² + θ² + φ²)
C) pφ = (m/2)r²sin(θ)φ̇
D) pφ = mr²sin²(θ)φ̇
  • 35. En la ecuación de Euler-Lagrange para r, ¿qué término representa la fuerza centrípeta?
A) -mr(θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
B) m(r̈ - θ̇² - sin²(θ)φ̇²)
C) mr(θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
D) -m(r̈ + θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
  • 36. En la ecuación de Euler-Lagrange para θ, ¿qué término tiene en cuenta el cambio en el momento angular debido a φ?
A) m(r²θ̇ + sin(θ)cos(θ)φ̇)
B) -mr²sin(θ)φ̇
C) mr²sin(θ)cos(θ)φ̇²
D) -mr²sin(θ)cos(θ)φ̇²
  • 37. ¿Cuál es la expresión para la energía potencial V del sistema del péndulo?
A) mgy_pend
B) Mgy_pend
C) (1/2)mgy_pend2
D) mgx_pend
  • 38. ¿Qué representa el lagrangiano Lcm en el problema de la fuerza central de dos cuerpos?
A) La energía cinética total del sistema.
B) La energía potencial debido a la fuerza central.
C) El término correspondiente al movimiento relativo.
D) El término correspondiente al movimiento del centro de masa.
  • 39. ¿Cuál es la expresión para la masa reducida μ en términos de m1 y m2?
A) μ = m1 * m2 / (m1 + m2).
B) μ = m1 * m2.
C) μ = m1 - m2.
D) μ = (m1 + m2) / 2.
  • 40. En coordenadas polares, ¿cuál es la coordenada cíclica en el lagrangiano de movimiento relativo, Lrel?
A) R (posición del centro de masa).
B) θ (theta).
C) V (energía potencial).
D) r (distancia radial).
  • 41. ¿Cuál es la expresión para la fuerza centrífuga lagrangiana Fcf?
A) Fcf = μr/θ˙.
B) Fcf = dV/dr.
C) Fcf = μr²θ˙.
D) Fcf = μrθ˙² = ℓ²/(μr³).
  • 42. ¿Es el momento canónico 'p' invariante bajo transformaciones de calibre?
A) La invariancia de calibre no se aplica al momento canónico.
B) Sí, es invariante bajo transformaciones de calibre.
C) No, no es invariante bajo transformaciones de calibre.
D) Depende del sistema específico.
  • 43. ¿Qué formulación de la mecánica clásica está estrechamente relacionada con la mecánica lagrangiana?
A) Óptica
B) Mecánica hamiltoniana
C) Formulación en el espacio de los momentos
D) Mecánica de Routh
  • 44. ¿Cómo se puede obtener el Hamiltoniano a partir del Lagrangiano mediante qué transformación?
A) Transformación de Fourier
B) Transformación de Laplace
C) Transformación de Legendre
D) Expansión de Taylor
  • 45. ¿Cuál es una formulación híbrida de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana que maneje de manera eficiente las coordenadas cíclicas?
A) Mecánica relativista
B) Mecánica de Routh
C) Mecánica de Ostrogradsky
D) Formulación en el espacio de los momentos
  • 46. ¿Cuál es un problema potencial al incluir derivadas temporales de orden superior al primero en la mecánica lagrangiana?
A) Complejidad hamiltoniana
B) Inestabilidad de Ostrogradsky
C) Inconsistencia relativista
D) Violación del principio variacional
  • 47. ¿En qué campo se puede aplicar la mecánica lagrangiana utilizando principios variacionales para determinar las trayectorias de los rayos de luz?
A) Termodinámica
B) Electromagnetismo
C) Mecánica cuántica
D) Óptica
  • 48. En las formulaciones relativistas, ¿qué es difícil de manejar de manera explícitamente covariante?
A) Momentos conservados
B) Sistemas de múltiples partículas
C) Dinámica de una sola partícula
D) Coordenadas cíclicas
  • 49. En mecánica cuántica, ¿qué constante fundamental relaciona la acción y la fase cuántica?
A) La constante de Planck
B) La constante gravitacional
C) La velocidad de la luz
D) La constante de Boltzmann
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