Sistemas dinámicos - Examen
  • 1. Los sistemas dinámicos son modelos matemáticos utilizados para describir la evolución de un sistema a lo largo del tiempo. Estos sistemas se caracterizan por su sensibilidad a las condiciones iniciales y muestran comportamientos complejos como el caos, la bifurcación y la estabilidad. En el campo de las matemáticas y la física, la teoría de sistemas dinámicos se emplea ampliamente para estudiar el comportamiento de sistemas en diversas disciplinas, como la biología, la economía y la ingeniería. Mediante el análisis de la dinámica de estos sistemas, los investigadores obtienen información sobre patrones, tendencias y predictibilidad, lo que en última instancia proporciona una comprensión más profunda de los mecanismos subyacentes que gobiernan los sistemas naturales y artificiales.

    ¿Qué es un punto fijo en un sistema dinámico?
A) un punto que se mueve aleatoriamente
B) un punto que permanece invariable bajo la dinámica del sistema
C) un punto de gran variabilidad
D) un punto singular
  • 2. ¿Qué es un espacio de fases en dinámica?
A) un espacio donde el tiempo no es un factor
B) un espacio unidimensional
C) un espacio en el que se representan todos los estados posibles de un sistema
D) un espacio que sólo representa estados estables
  • 3. ¿Para qué sirve el exponente de Lyapunov en los sistemas dinámicos?
A) para determinar los puntos fijos
B) para cuantificar la tasa de divergencia o convergencia exponencial de trayectorias cercanas
C) estudiar el comportamiento caótico
D) medir la posición exacta de una trayectoria
  • 4. ¿Qué es un atractor extraño en los sistemas dinámicos?
A) un atractor sin variabilidad
B) un atractor con estructura fractal y dependencia sensible de las condiciones iniciales
C) un atractor periódico
D) un simple atractor puntual
  • 5. ¿Cómo ayuda un diagrama de bifurcación a comprender los sistemas dinámicos?
A) representa puntos fijos estables
B) ayuda a resolver ecuaciones diferenciales
C) muestra transiciones entre diferentes comportamientos dinámicos al variar un parámetro de control
D) cuantifica el caos en un sistema
  • 6. ¿Qué caracteriza a un sistema dinámico hamiltoniano?
A) dinámica no conservadora
B) conservación de la energía y estructura simpléctica
C) sensibilidad a las condiciones iniciales
D) divergencia exponencial de trayectorias cercanas
  • 7. ¿Qué papel desempeña la matriz jacobiana en el análisis de sistemas dinámicos?
A) define atractores extraños
B) genera diagramas de bifurcación
C) especifica el exponente de Lyapunov
D) determina la estabilidad y el comportamiento cerca de los puntos fijos
  • 8. ¿Qué es la teoría ergódica en el contexto de los sistemas dinámicos?
A) rama que estudia las propiedades estadísticas de los sistemas que evolucionan con el tiempo
B) una teoría de los atractores
C) una teoría de puntos fijos
D) una teoría de las bifurcaciones
  • 9. ¿Cuál de los siguientes campos NO se menciona como un área de aplicación de la teoría de sistemas dinámicos?
A) Literatura
B) Física
C) Matemáticas
D) Biología
  • 10. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es una característica que se puede asociar con los sistemas dinámicos?
A) Estocástico
B) No determinista
C) Caótico
D) Determinista
  • 11. ¿Cuál es el término para el estudio de las propiedades de los sistemas dinámicos que no cambian bajo transformaciones de coordenadas?
A) Estudio cuantitativo
B) Estudio cualitativo
C) Estudio computacional
D) Estudio analítico
  • 12. ¿Qué técnica matemática se utilizó principalmente antes de la aparición de las computadoras para determinar órbitas en sistemas dinámicos?
A) Métodos gráficos
B) Técnicas matemáticas avanzadas
C) Análisis estadístico
D) Simulaciones numéricas
  • 13. ¿Cuál es el término para el estudio de los sistemas dinámicos que se centra en la existencia y la unicidad de las soluciones?
A) Teoría del caos
B) Estabilidad
C) Determinismo
D) Integrabilidad
  • 14. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es un tipo de comportamiento que las trayectorias en un sistema dinámico podrían exhibir?
A) Caótico
B) Estocástico
C) Periódico
D) Lineal
  • 15. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es un campo en el que se aplica la teoría de sistemas dinámicos?
A) Ingeniería
B) Economía
C) Filosofía
D) Química
  • 16. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es un método utilizado para describir la relación entre un estado y otro en un sistema dinámico?
A) Función en el parámetro 't'
B) Ecuación diferencial
C) Ecuación de diferencias
D) Ecuación algebraica
  • 17. ¿Cuál es el término que describe el estudio de cómo los sistemas dinámicos cambian a medida que se varía un parámetro?
A) Teoría del caos
B) Teoría de bifurcaciones
C) Teoría de la estabilidad
D) Teoría ergódica
  • 18. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es una característica de un sistema dinámico?
A) No evolutivo
B) Determinista
C) Discreto
D) Continuo
  • 19. ¿Quién es considerado el fundador de los sistemas dinámicos?
A) Henri Poincaré
B) George David Birkhoff
C) Aleksandr Lyapunov
D) Stephen Smale
  • 20. ¿Qué teorema establece que ciertos sistemas volverán a un estado muy cercano al estado inicial después de un tiempo suficientemente largo, pero finito?
A) Teorema de recurrencia de Poincaré
B) Teorema de Sharkovsky
C) Teorema ergódico
D) Teorema de Lyapunov
  • 21. ¿Quién demostró el 'Último Teorema Geométrico' de Poincaré?
A) George David Birkhoff
B) Stephen Smale
C) Aleksandr Lyapunov
D) Henri Poincaré
  • 22. ¿Qué resultado significativo descubrió George David Birkhoff en 1931?
A) El teorema ergódico
B) El teorema de Sharkovsky
C) El "ferrocarril" de Smale
D) El teorema de recurrencia de Poincaré
  • 23. ¿En qué consistió la primera contribución de Stephen Smale a los sistemas dinámicos?
A) El "ferrocarril" de Smale
B) El teorema de Sharkovsky
C) Los métodos de estabilidad de Lyapunov
D) El teorema ergódico
  • 24. ¿Quién aplicó la dinámica no lineal en sistemas mecánicos e ingenieriles?
A) Stephen Smale
B) Ali H. Nayfeh
C) Henri Poincaré
D) George David Birkhoff
  • 25. ¿Cuál es la ley de composición en la evolución temporal?
A) T(t1 + t2) = T(t1) / T(t2).
B) T(t1 + t2) = T(t1) + T(t2).
C) T(t1 + t2) = T(t1) - T(t2).
D) T(t1 + t2) = T(t1) * T(t2).
  • 26. ¿Cuál de los siguientes es un ejemplo de una reacción en cadena?
A) avalanchas
B) autómatas
C) mapas
D) redes
  • 27. ¿A qué se suele asociar el origen del sistema de referencia elegido en el espacio de estados X?
A) El elemento identidad
B) El elemento neutro
C) El vector nulo
D) La matriz identidad
  • 28. ¿Qué enfoque utilizó Koopman para estudiar sistemas ergódicos?
A) Observación experimental
B) Análisis funcional
C) Mecánica clásica
D) Simulación numérica
  • 29. ¿Cuál es el papel de M en un autómata celular?
A) es una función de evolución
B) es un conjunto de funciones
C) representa la 'rejilla' temporal
D) representa la 'rejilla' espacial
  • 30. ¿Qué herramienta matemática se utiliza para catalogar las bifurcaciones en sistemas dinámicos?
A) Series de Fourier.
B) Ecuaciones diferenciales parciales.
C) Aproximaciones mediante series de Taylor.
D) Transformadas de Laplace.
  • 31. ¿Cuál es un aspecto importante de las órbitas límite en los sistemas dinámicos topológicos?
A) Las órbitas límite siempre son únicas.
B) Las órbitas límite siempre tienen una medida de Lebesgue completa.
C) Las órbitas límite siempre se alcanzan.
D) Las órbitas límite pueden nunca alcanzarse.
  • 32. ¿Cuál es la dimensión del volumen que es invariante en el espacio de fases para sistemas mecánicos derivados de las leyes de Newton?
A) unidimensional
B) bidimensional
C) de dimensión ν
D) tridimensional
  • 33. ¿Qué estructura matemática puede describir el estado de un agujero negro?
A) Un grupo
B) Un anillo
C) Un espacio vectorial
D) Una variedad
  • 34. ¿En qué formulación se consideran el tiempo y el espacio como entidades equivalentes?
A) Formulación de la mecánica lagrangiana.
B) Formulación de la mecánica newtoniana.
C) Formulación de la mecánica hamiltoniana.
D) Formulación de la mecánica clásica.
  • 35. ¿Cómo se denomina a un sistema cuando T está restringido a los enteros no negativos?
A) un autómata celular
B) una cascada parcial
C) un mapeo
D) una cascada
  • 36. ¿Qué principio permite generar nuevas soluciones a partir de soluciones conocidas en sistemas dinámicos lineales?
A) Principio de oscilación
B) Principio de autovalores
C) Principio de superposición
D) Principio de estabilidad
  • 37. ¿Qué es el espacio de fases o el espacio de estados en un sistema dinámico?
A) U
B) X
C) Φ
D) T
  • 38. ¿Quién utilizó el teorema de recurrencia de Poincaré para cuestionar la derivación de Boltzmann sobre el aumento de la entropía?
A) Ruelle
B) Koopman
C) Boltzmann
D) Zermelo
  • 39. ¿Cuál es una medida natural para los sistemas hamiltonianos?
A) La medida de Liouville.
B) La medida gaussiana.
C) La medida de Riemann.
D) La medida de Lebesgue.
  • 40. En los flujos hamiltonianos, ¿qué se puede considerar como movimiento?
A) Un proceso no transformador.
B) Una transformación continua.
C) Una transformación canónica, que en última instancia es una correspondencia.
D) Un cambio irreversible.
  • 41. ¿Cuál es el término utilizado para describir el comportamiento impredecible de los sistemas dinámicos no lineales simples?
A) Caos
B) Estabilidad
C) Periodicidad
D) Determinismo
  • 42. ¿Qué campo se ha conocido durante años por involucrar un comportamiento complejo, incluso caótico?
A) Meteorología
B) Química
C) Biología
D) Economía
  • 43. ¿Cuál de las siguientes opciones es otro ejemplo de un espacio discreto en sistemas dinámicos?
A) Un campo vectorial
B) Un campo continuo
C) Un campo finito
D) Un campo infinito
  • 44. ¿Cómo se denomina la representación gráfica de la función Φ_x?
A) La trayectoria a través de x
B) La órbita a través de x
C) El conjunto invariante
D) El parámetro de evolución
  • 45. ¿Cómo se denomina a un sistema mecánico cuando v(t, x) = v(x)?
A) Autónomo
B) Homogéneo
C) No homogéneo
D) No autónomo
  • 46. ¿Qué representa la estructura de rejilla (o celosía) en M en un autómata celular?
A) una función de evolución
B) un conjunto de funciones
C) la estructura de rejilla que representa el 'espacio'
D) la estructura de rejilla que representa el 'tiempo'
  • 47. ¿Qué reemplaza al factor de Boltzmann en el enfoque generalizado de Sinai, Bowen y Ruelle?
A) Operadores de Koopman
B) Medidas de conjuntos de recurrencia estable
C) Medidas de Liouville
D) Recurrencias de Poincaré
  • 48. ¿Qué características presentan las medidas de Sinai-Ruelle-Bowen bajo pequeñas perturbaciones?
A) No se comportan de manera física.
B) Se vuelven medidas que preservan sus propiedades.
C) Se comportan de manera física.
D) Se vuelven no invariantes.
  • 49. ¿Qué concepto matemático es un prototipo de un sistema dinámico discreto?
A) La secuencia de Fibonacci.
B) El atractor de Lorenz.
C) La función logística.
D) El conjunto de Mandelbrot.
  • 50. ¿Cuál es la naturaleza de los sistemas cuánticos antes de ser medidos?
A) Caótico.
B) No determinista.
C) Estocástico.
D) Determinista.
  • 51. En el contexto de los sistemas dinámicos discretos, ¿qué se estudia para cada entero n?
A) Las iteraciones Φn = Φ / Φ / ... / Φ.
B) Las iteraciones Φn = Φ ∘ Φ ∘ ... ∘ Φ.
C) Las iteraciones Φn = Φ - Φ - ... - Φ.
D) Las iteraciones Φn = Φ + Φ + ... + Φ.
  • 52. ¿Cuál es otro término para los sistemas dinámicos discretos cuando la información se transmite de un paso a otro?
A) redes
B) mapas
C) cascadas
D) máquinas de estado
  • 53. ¿Qué se puede hacer a veces con parches para extender el teorema de rectificación a todo el espacio de fases?
A) Ignorar el campo vectorial.
B) Unir varios parches.
C) Eliminar los puntos singulares.
D) Aumentar el tamaño de cada parche.
  • 54. ¿Cuál es la transformación inversa en una evolución temporal reversible?
A) T⁻¹ = T(t).
B) T⁻¹ = T(-t).
C) T⁻¹ = T(0).
D) T⁻¹ = 1.
  • 55. ¿Qué representa la estructura de rejilla en T en un autómata celular?
A) un conjunto de funciones
B) la estructura de rejilla del 'espacio'
C) una función de evolución
D) la estructura de rejilla del 'tiempo'
  • 56. ¿Qué introduce una estructura de semigrupo en la evolución temporal?
A) No asociatividad.
B) Irreversibilidad.
C) Asociatividad.
D) Aleatoriedad.
  • 57. ¿Qué tipos de ecuaciones se consideran al extender los sistemas dinámicos a variedades de dimensión infinita?
A) Ecuaciones algebraicas
B) Ecuaciones integrales
C) Ecuaciones diferenciales parciales
D) Ecuaciones diferenciales ordinarias
  • 58. En el formalismo hamiltoniano, ¿qué se conserva durante la evolución cuando se deriva el momento generalizado apropiado?
A) El volumen asociado
B) La posición
C) La energía
D) El momento
  • 59. ¿Cuál es el elemento identidad en un semigrupo de evolución temporal?
A) T(0) = 0.
B) T(1) = 0.
C) T(0) = 1.
D) T(1) = 1.
  • 60. ¿Cuál es un ejemplo de sistema dinámico estocástico?
A) Parámetros de control de robots.
B) Precios de las acciones.
C) Posiciones planetarias.
D) Sistemas de procesamiento de imágenes.
  • 61. ¿A qué escenario se asocia el mapa logístico?
A) Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou
B) Escenario de Pomeau-Manneville
C) Teorema de Picard-Lindelöf
D) Mapa de la herradura
  • 62. ¿Qué es Φ en el contexto de un autómata celular?
A) una tupla
B) una función de evolución (definida localmente)
C) una red
D) un conjunto de funciones
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