Sistemas dinámicos - Examen
  • 1. Los sistemas dinámicos son modelos matemáticos utilizados para describir la evolución de un sistema a lo largo del tiempo. Estos sistemas se caracterizan por su sensibilidad a las condiciones iniciales y muestran comportamientos complejos como el caos, la bifurcación y la estabilidad. En el campo de las matemáticas y la física, la teoría de sistemas dinámicos se emplea ampliamente para estudiar el comportamiento de sistemas en diversas disciplinas, como la biología, la economía y la ingeniería. Mediante el análisis de la dinámica de estos sistemas, los investigadores obtienen información sobre patrones, tendencias y predictibilidad, lo que en última instancia proporciona una comprensión más profunda de los mecanismos subyacentes que gobiernan los sistemas naturales y artificiales.

    ¿Qué es un punto fijo en un sistema dinámico?
A) un punto que permanece invariable bajo la dinámica del sistema
B) un punto que se mueve aleatoriamente
C) un punto de gran variabilidad
D) un punto singular
  • 2. ¿Qué es un espacio de fases en dinámica?
A) un espacio en el que se representan todos los estados posibles de un sistema
B) un espacio unidimensional
C) un espacio donde el tiempo no es un factor
D) un espacio que sólo representa estados estables
  • 3. ¿Para qué sirve el exponente de Lyapunov en los sistemas dinámicos?
A) para determinar los puntos fijos
B) para cuantificar la tasa de divergencia o convergencia exponencial de trayectorias cercanas
C) medir la posición exacta de una trayectoria
D) estudiar el comportamiento caótico
  • 4. ¿Qué es un atractor extraño en los sistemas dinámicos?
A) un atractor sin variabilidad
B) un atractor con estructura fractal y dependencia sensible de las condiciones iniciales
C) un simple atractor puntual
D) un atractor periódico
  • 5. ¿Cómo ayuda un diagrama de bifurcación a comprender los sistemas dinámicos?
A) cuantifica el caos en un sistema
B) representa puntos fijos estables
C) muestra transiciones entre diferentes comportamientos dinámicos al variar un parámetro de control
D) ayuda a resolver ecuaciones diferenciales
  • 6. ¿Qué caracteriza a un sistema dinámico hamiltoniano?
A) dinámica no conservadora
B) sensibilidad a las condiciones iniciales
C) divergencia exponencial de trayectorias cercanas
D) conservación de la energía y estructura simpléctica
  • 7. ¿Qué papel desempeña la matriz jacobiana en el análisis de sistemas dinámicos?
A) define atractores extraños
B) genera diagramas de bifurcación
C) determina la estabilidad y el comportamiento cerca de los puntos fijos
D) especifica el exponente de Lyapunov
  • 8. ¿Qué es la teoría ergódica en el contexto de los sistemas dinámicos?
A) una teoría de las bifurcaciones
B) una teoría de puntos fijos
C) rama que estudia las propiedades estadísticas de los sistemas que evolucionan con el tiempo
D) una teoría de los atractores
  • 9. ¿Cuál de los siguientes campos NO se menciona como un área de aplicación de la teoría de sistemas dinámicos?
A) Literatura
B) Matemáticas
C) Física
D) Biología
  • 10. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es una característica que se puede asociar con los sistemas dinámicos?
A) Caótico
B) Estocástico
C) Determinista
D) No determinista
  • 11. ¿Cuál es el término para el estudio de las propiedades de los sistemas dinámicos que no cambian bajo transformaciones de coordenadas?
A) Estudio computacional
B) Estudio cuantitativo
C) Estudio cualitativo
D) Estudio analítico
  • 12. ¿Qué técnica matemática se utilizó principalmente antes de la aparición de las computadoras para determinar órbitas en sistemas dinámicos?
A) Análisis estadístico
B) Simulaciones numéricas
C) Métodos gráficos
D) Técnicas matemáticas avanzadas
  • 13. ¿Cuál es el término para el estudio de los sistemas dinámicos que se centra en la existencia y la unicidad de las soluciones?
A) Estabilidad
B) Teoría del caos
C) Integrabilidad
D) Determinismo
  • 14. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es un tipo de comportamiento que las trayectorias en un sistema dinámico podrían exhibir?
A) Lineal
B) Caótico
C) Periódico
D) Estocástico
  • 15. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es un campo en el que se aplica la teoría de sistemas dinámicos?
A) Ingeniería
B) Filosofía
C) Química
D) Economía
  • 16. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es un método utilizado para describir la relación entre un estado y otro en un sistema dinámico?
A) Ecuación algebraica
B) Ecuación de diferencias
C) Ecuación diferencial
D) Función en el parámetro 't'
  • 17. ¿Cuál es el término que describe el estudio de cómo los sistemas dinámicos cambian a medida que se varía un parámetro?
A) Teoría ergódica
B) Teoría del caos
C) Teoría de bifurcaciones
D) Teoría de la estabilidad
  • 18. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es una característica de un sistema dinámico?
A) Determinista
B) Discreto
C) No evolutivo
D) Continuo
  • 19. ¿Quién es considerado el fundador de los sistemas dinámicos?
A) Stephen Smale
B) George David Birkhoff
C) Henri Poincaré
D) Aleksandr Lyapunov
  • 20. ¿Qué teorema establece que ciertos sistemas volverán a un estado muy cercano al estado inicial después de un tiempo suficientemente largo, pero finito?
A) Teorema de Lyapunov
B) Teorema ergódico
C) Teorema de recurrencia de Poincaré
D) Teorema de Sharkovsky
  • 21. ¿Quién demostró el 'Último Teorema Geométrico' de Poincaré?
A) Stephen Smale
B) George David Birkhoff
C) Aleksandr Lyapunov
D) Henri Poincaré
  • 22. ¿Qué resultado significativo descubrió George David Birkhoff en 1931?
A) El teorema ergódico
B) El teorema de recurrencia de Poincaré
C) El teorema de Sharkovsky
D) El "ferrocarril" de Smale
  • 23. ¿En qué consistió la primera contribución de Stephen Smale a los sistemas dinámicos?
A) El teorema ergódico
B) El "ferrocarril" de Smale
C) Los métodos de estabilidad de Lyapunov
D) El teorema de Sharkovsky
  • 24. ¿Quién aplicó la dinámica no lineal en sistemas mecánicos e ingenieriles?
A) Stephen Smale
B) Henri Poincaré
C) Ali H. Nayfeh
D) George David Birkhoff
  • 25. ¿A qué se suele asociar el origen del sistema de referencia elegido en el espacio de estados X?
A) La matriz identidad
B) El elemento identidad
C) El vector nulo
D) El elemento neutro
  • 26. ¿Qué estructura matemática puede describir el estado de un agujero negro?
A) Un anillo
B) Una variedad
C) Un grupo
D) Un espacio vectorial
  • 27. ¿Cuál de las siguientes opciones es otro ejemplo de un espacio discreto en sistemas dinámicos?
A) Un campo finito
B) Un campo vectorial
C) Un campo infinito
D) Un campo continuo
  • 28. ¿En qué formulación se consideran el tiempo y el espacio como entidades equivalentes?
A) Formulación de la mecánica clásica.
B) Formulación de la mecánica hamiltoniana.
C) Formulación de la mecánica lagrangiana.
D) Formulación de la mecánica newtoniana.
  • 29. ¿Qué introduce una estructura de semigrupo en la evolución temporal?
A) Aleatoriedad.
B) Irreversibilidad.
C) Asociatividad.
D) No asociatividad.
  • 30. ¿Cuál es el elemento identidad en un semigrupo de evolución temporal?
A) T(1) = 1.
B) T(0) = 0.
C) T(0) = 1.
D) T(1) = 0.
  • 31. ¿Cuál es la transformación inversa en una evolución temporal reversible?
A) T⁻¹ = T(-t).
B) T⁻¹ = T(t).
C) T⁻¹ = 1.
D) T⁻¹ = T(0).
  • 32. ¿Cuál es un ejemplo de sistema dinámico estocástico?
A) Precios de las acciones.
B) Parámetros de control de robots.
C) Posiciones planetarias.
D) Sistemas de procesamiento de imágenes.
  • 33. ¿Cuál es la naturaleza de los sistemas cuánticos antes de ser medidos?
A) Determinista.
B) Estocástico.
C) Caótico.
D) No determinista.
  • 34. ¿Cuál es la ley de composición en la evolución temporal?
A) T(t1 + t2) = T(t1) / T(t2).
B) T(t1 + t2) = T(t1) - T(t2).
C) T(t1 + t2) = T(t1) + T(t2).
D) T(t1 + t2) = T(t1) * T(t2).
  • 35. ¿Cuál es un aspecto importante de las órbitas límite en los sistemas dinámicos topológicos?
A) Las órbitas límite siempre tienen una medida de Lebesgue completa.
B) Las órbitas límite siempre son únicas.
C) Las órbitas límite siempre se alcanzan.
D) Las órbitas límite pueden nunca alcanzarse.
  • 36. En el contexto de los sistemas dinámicos discretos, ¿qué se estudia para cada entero n?
A) Las iteraciones Φn = Φ + Φ + ... + Φ.
B) Las iteraciones Φn = Φ ∘ Φ ∘ ... ∘ Φ.
C) Las iteraciones Φn = Φ / Φ / ... / Φ.
D) Las iteraciones Φn = Φ - Φ - ... - Φ.
  • 37. ¿Cuál es una medida natural para los sistemas hamiltonianos?
A) La medida de Liouville.
B) La medida de Lebesgue.
C) La medida de Riemann.
D) La medida gaussiana.
  • 38. ¿Qué características presentan las medidas de Sinai-Ruelle-Bowen bajo pequeñas perturbaciones?
A) Se vuelven medidas que preservan sus propiedades.
B) Se comportan de manera física.
C) Se vuelven no invariantes.
D) No se comportan de manera física.
  • 39. ¿Qué es el espacio de fases o el espacio de estados en un sistema dinámico?
A) U
B) Φ
C) X
D) T
  • 40. ¿Cómo se denomina la representación gráfica de la función Φ_x?
A) La órbita a través de x
B) El conjunto invariante
C) La trayectoria a través de x
D) El parámetro de evolución
  • 41. ¿Cómo se denomina a un sistema mecánico cuando v(t, x) = v(x)?
A) No homogéneo
B) Homogéneo
C) Autónomo
D) No autónomo
  • 42. ¿Qué tipos de ecuaciones se consideran al extender los sistemas dinámicos a variedades de dimensión infinita?
A) Ecuaciones integrales
B) Ecuaciones diferenciales ordinarias
C) Ecuaciones algebraicas
D) Ecuaciones diferenciales parciales
  • 43. ¿Qué concepto matemático es un prototipo de un sistema dinámico discreto?
A) El atractor de Lorenz.
B) La función logística.
C) El conjunto de Mandelbrot.
D) La secuencia de Fibonacci.
  • 44. En los flujos hamiltonianos, ¿qué se puede considerar como movimiento?
A) Un cambio irreversible.
B) Una transformación continua.
C) Un proceso no transformador.
D) Una transformación canónica, que en última instancia es una correspondencia.
  • 45. ¿Cuál es otro término para los sistemas dinámicos discretos cuando la información se transmite de un paso a otro?
A) mapas
B) cascadas
C) redes
D) máquinas de estado
  • 46. ¿Cuál de los siguientes es un ejemplo de una reacción en cadena?
A) redes
B) mapas
C) autómatas
D) avalanchas
  • 47. ¿Cómo se denomina a un sistema cuando T está restringido a los enteros no negativos?
A) una cascada parcial
B) un mapeo
C) una cascada
D) un autómata celular
  • 48. ¿Qué representa la estructura de rejilla (o celosía) en M en un autómata celular?
A) la estructura de rejilla que representa el 'tiempo'
B) un conjunto de funciones
C) una función de evolución
D) la estructura de rejilla que representa el 'espacio'
  • 49. ¿Qué representa la estructura de rejilla en T en un autómata celular?
A) una función de evolución
B) la estructura de rejilla del 'espacio'
C) la estructura de rejilla del 'tiempo'
D) un conjunto de funciones
  • 50. ¿Qué es Φ en el contexto de un autómata celular?
A) una tupla
B) un conjunto de funciones
C) una función de evolución (definida localmente)
D) una red
  • 51. ¿Cuál es el papel de M en un autómata celular?
A) es una función de evolución
B) representa la 'rejilla' temporal
C) es un conjunto de funciones
D) representa la 'rejilla' espacial
  • 52. ¿Qué principio permite generar nuevas soluciones a partir de soluciones conocidas en sistemas dinámicos lineales?
A) Principio de superposición
B) Principio de autovalores
C) Principio de estabilidad
D) Principio de oscilación
  • 53. ¿Qué se puede hacer a veces con parches para extender el teorema de rectificación a todo el espacio de fases?
A) Aumentar el tamaño de cada parche.
B) Eliminar los puntos singulares.
C) Unir varios parches.
D) Ignorar el campo vectorial.
  • 54. ¿Qué herramienta matemática se utiliza para catalogar las bifurcaciones en sistemas dinámicos?
A) Series de Fourier.
B) Aproximaciones mediante series de Taylor.
C) Transformadas de Laplace.
D) Ecuaciones diferenciales parciales.
  • 55. ¿Cuál es la dimensión del volumen que es invariante en el espacio de fases para sistemas mecánicos derivados de las leyes de Newton?
A) de dimensión ν
B) unidimensional
C) tridimensional
D) bidimensional
  • 56. En el formalismo hamiltoniano, ¿qué se conserva durante la evolución cuando se deriva el momento generalizado apropiado?
A) El volumen asociado
B) La posición
C) La energía
D) El momento
  • 57. ¿Quién utilizó el teorema de recurrencia de Poincaré para cuestionar la derivación de Boltzmann sobre el aumento de la entropía?
A) Boltzmann
B) Koopman
C) Zermelo
D) Ruelle
  • 58. ¿Qué enfoque utilizó Koopman para estudiar sistemas ergódicos?
A) Mecánica clásica
B) Análisis funcional
C) Simulación numérica
D) Observación experimental
  • 59. ¿Qué reemplaza al factor de Boltzmann en el enfoque generalizado de Sinai, Bowen y Ruelle?
A) Medidas de Liouville
B) Recurrencias de Poincaré
C) Medidas de conjuntos de recurrencia estable
D) Operadores de Koopman
  • 60. ¿Cuál es el término utilizado para describir el comportamiento impredecible de los sistemas dinámicos no lineales simples?
A) Periodicidad
B) Estabilidad
C) Caos
D) Determinismo
  • 61. ¿Qué campo se ha conocido durante años por involucrar un comportamiento complejo, incluso caótico?
A) Biología
B) Economía
C) Química
D) Meteorología
  • 62. ¿A qué escenario se asocia el mapa logístico?
A) Mapa de la herradura
B) Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou
C) Teorema de Picard-Lindelöf
D) Escenario de Pomeau-Manneville
Examen creado con That Quiz — donde se practican las matemáticas.