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Integrales RACIONALES
INTEGRALES 
RACIONALES

REPASO  GENERAL
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integral racional prueba
Calcula la siguiente integral:
¿Es necesario dividir primero el numerador entre
el denominador?
No
Si
integral racional pruebasimbolo integralsimbolo integral
Incluye el signo
-x3 + x2 
Vamos a dividir (completa los huecos): 
x3 - x2         +  1       x3 - x2 + x - 1
dx + 
x3 - x2 + x - 1
dx
Vamos a buscar las raíces del denominador: 
x3 - x2 + x - 1
x3 - x2 + x - 1 = (x - 1) (x2 -1)
x3 - x2 + x - 1 = (x - 1) (x + 1)
x3 - x2 + x - 1 = (x - 1) (x2 + 1)
x3 - x2 + x - 1 = (x2 -1) (x + 1)
integral racional pruebasimbolo integralsimbolo integral
x3 - x2 + x - 1
- x + 2
Nota: Para escribir una fracción escribe, 
2/5 (por ejemplo)
A = 
=
(x - 1) (1 + x2)
M = 
- x + 2
1
dx + 
=
x3 - x2 + x - 1
(x - 1)
N = 
A
- x + 2
+
(1 + x2)
Mx + N
dx
integral racional pruebasimbolo integralsimbolo integral
= x + 
ln|          | - 
ln| x2 + 1 | -         arctg (     ) + C
1
dx + 
x3 - x2 + x - 1
- x + 2
dx
integral mod
Calcula la siguiente integral:
¿Es necesario dividir primero el numerador entre
el denominador?
No, porque el grado del numerador es menor 
que el grado del denominador
Si, porque el grado del numerador es mayorque el grado del denominador
Si, porque el grado del numerador es igual 
al grado del denominador.
integral modsimbolo integralsimbolo integral
Incluye el signo
-x3 - x2
Vamos a dividir (completa los huecos): 
x3 - x2         +  1       x3 + x2 + x + 1
-2x2
dx + 
x3 + x2 + x + 1
-2x2
dx
Vamos a buscar las raíces del denominador: x3 + x2 + x + 1
x3 + x2 + x + 1 = (x - 1) (x2 -1)
x3 + x2 + x + 1 = (x - 1) (x + 1)
x3 + x2 + x + 1 = (x + 1) (x2 + 1)
x3 + x2 + x + 1 = (x2 -1) (x + 1)
integral modsimbolo integralsimbolo integral
x3 + x2 + x + 1
- 2x2 - x
Nota: Para escribir una fracción escribe, 
2/5 (por ejemplo)
A = 
=
(x + 1)·(x2 + 1)
M = 
- 2x2 - x
1
dx + 
=
x3 + x2 + x + 1
(x + 1)
N = 
A
- 2x2 - x
+
(1 + x2)
Mx + N
dx
integral modsimbolo integralsimbolo integral
= x  -
ln|          | - 
ln| x2 + 1 | +         arctg (     ) + C
1
dx + 
x3 + x2 + x + 1
- 2x2 - x
dx
integral mod
Calcula la siguiente integral:
¿Es necesario dividir primero el numerador entre
el denominador?
No, porque el grado del numerador es menor 
que el grado del denominador
Si, porque el grado del numerador es mayorque el grado del denominador
Si, porque el grado del numerador es igual 
al grado del denominador.
integral modsimbolo integralsimbolo integral
Incluye el signo
-x3 - 2x2
Vamos a dividir (completa los huecos): 
x3 - x2         +  1       x3 + 2x2 + x + 2
-3x2
dx + 
x3 + 2x2 + x + 2
-3x2
dx
Vamos a buscar las raíces del denominador: x3 + 2x2 + x + 2
x3 + 2x2 + x + 2 = (x - 2) (x2 -1)
x3 + 2x2 + x + 2 = (x - 2) (x + 2)
x3 + 2x2 + x + 2 = (x + 2) (x2 + 1)
x3 + 2x2 + x + 2 = (x2 -1) (x + 2)
integral modsimbolo integralsimbolo integral
x3 + 2x2 + x + 2
- 3x2 - x - 1
Nota: Para escribir una fracción escribe, 
2/5 (por ejemplo)
A = 
=
(x + 2)·(x2 + 1)
- 3x2 - x - 1
M = 
1
dx + 
=
x3 + 2x2 + x + 2
(x + 2)
- 3x2 - x - 1
N = 
A
+
(1 + x2)
Mx + N
dx
integral modsimbolo integralsimbolo integral
= x  -
ln|          | - 
ln| x2 + 1 | +         arctg (     ) + C
1
dx + 
x3 + 2x2 + x + 2
- 3x2 - x - 1
dx
integral mod
Calcula la siguiente integral:
¿Es necesario dividir primero el numerador entre
el denominador?
No, porque el grado del numerador es menor 
que el grado del denominador
Si, porque el grado del numerador es mayorque el grado del denominador
Si, porque el grado del numerador es igual 
al grado del denominador.
integral modsimbolo integralsimbolo integral
Incluye el signo
-x3 + 2x2
Vamos a dividir (completa los huecos): 
x3 - x2         +  1       x3 - 2x2 + x - 2
x2
dx + 
x3 - 2x2 + x - 2
x2
dx
Vamos a buscar las raíces del denominador: x3 - 2x2 + x - 2
x3 - 2x2 + x - 2 = (x - 2) (x2 -1)
x3 - 2x2 + x - 2 = (x - 2) (x + 2)
x3 - 2x2 + x - 2 = (x - 2) (x2 + 1)
x3 - 2x2 + x - 2 = (x2 -1) (x + 2)
integral modsimbolo integralsimbolo integral
x3 - 2x2 + x - 2
x2 - x + 3
Nota: Para escribir una fracción escribe, 
2/5 (por ejemplo)
A = 
=
(x - 2)·(x2 + 1)
x2 - x + 3
M = 
1
dx + 
=
x3 - 2x2 + x - 2
(x - 2)
x2 - x + 3
N = 
A
+
(1 + x2)
Mx + N
dx
integral modsimbolo integralsimbolo integral
= x  +
ln|          | - 
arctg (     ) + C
1
dx + 
x3 - 2x2 + x - 2
x2 - x + 3
dx
integral mod
Calcula la siguiente integral:
¿Es necesario dividir primero el numerador entre
el denominador?
No, porque el grado del numerador es menor 
que el grado del denominador
Si, porque el grado del numerador es mayorque el grado del denominador
Si, porque el grado del numerador es igual 
al grado del denominador.
integral modsimbolo integralsimbolo integral
Incluye el signo
-x3 + 3x2
Vamos a dividir (completa los huecos): 
x3 - x2         +  1       x3 - 3x2 + x - 3
2x2
dx + 
x3 - 3x2 + x - 3
2x2
dx
Vamos a buscar las raíces del denominador: x3 - 3x2 + x - 3
x3 - 3x2 + x - 3 = (x - 3) (x2 -1)
x3 - 3x2 + x - 3 = (x - 3) (x + 3)
x3 - 3x2 + x - 3 = (x - 3) (x2 + 1)
x3 - 3x2 + x - 3 = (x2 -1) (x + 3)
integral modsimbolo integralsimbolo integral
x3 - 3x2 + x - 3
2x2 - x + 4
Nota: Para escribir una fracción escribe, 
2/5 (por ejemplo)
A = 
=
(x - 3)·(x2 + 1)
2x2 - x + 4
M = 
1
dx + 
=
x3 - 3x2 + x - 3
(x - 3)
2x2 - x + 4
N = 
A
+
(1 + x2)
Mx + N
dx
integral modsimbolo integralsimbolo integral
= x +
ln|          | +
1
ln| x2 + 1 |-          arctg (     ) + C
dx + 
x3 - 3x2 + x - 3
2x2 - x + 4
dx
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