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Regla de Ruffini.Factorización de polinomios. por Cristina Ramos GarcíaIES Castillo de LunaAlburquerque (Badajoz) Puedes ver este vídeo del canal "unicoos" de Youtube para recordar antes de empezar. POLINOMIO COCIENTE,resultado de la división: División mediante la regla de Ruffini. Flechas rojas indican multiplicaciones. (3x2-2x+5): Escribe en la esquina el número "sin letra" del divisor, pero cambiado de signo: El primer coeficiente se "baja" sin operar. (x-2) G2 Los demás se suman o restan, según sus signos. x + G1 Se aplica cuando el divisor es un polinomiode la forma x-a, o bien x+a, siendo "a" un número entero. G0 Fila donde ponemos los resultados de las multiplicaciones. Coloca todos los coeficientes del polinomio dividendo, con sus signos, ordenados de mayor a menor grado. El último número obtenido es el resto o residuo de la división. El COCIENTE de la división es: Divide usando la regla de Ruffini: G3 x2 G2 x + G1 (x³ -3x2-2x+5):(x+1) G0 El RESTO de la división es: Divide mediante la regla de Ruffini. Si falta un término en el polinomio dividendo, debes poner 0 en el lugar que corresponda: El COCIENTE de la división es: G3 x2+ G2 x + G1 (x³ -2x+5):(x-3) G0 El RESTO de la división es: Divide mediante la regla de Ruffini: En este dividendo los términos de Grado 3 y Grado 2 no están: debes poner 0 en la tabla de Ruffini: G4 G3 G2 (x⁴ +17x-10):(x+3) G1 G0 Cuando el resto de la división es CERO,la fórmula de la divisiónDividendo=Divisor x Cociente + Restose reduce a Dividendo=Divisor x Cociente. Esto permite escribir el polinomio dividendocomo producto de factores del tipo (x-a). Cada número "a" que logra restos igualesa cero en la regla de Ruffini se llamaRAÍZ del polinomio dividendo. Factorización de un polinomio mediante la Regla de Ruffini. P(x)= =(x-1)·(x-2)·(x-(-2))·(x-3) P(x)= x4-4x3-x2+16x-12 -2 -2 6 3 3 1 1 -3 -4 12 2 2 -2 -12 1 -4 -1 16 -12 1 - 3 0 1 0 1 -3 -4 12 0 1 -1 -6 0 Resto Resto Resto Resto Dado el polinomio: P(x)= x4-x3-10x2+4x+24 1) Las posibles raíces enteras son divisores del término independiente (el que no tiene letra). Los divisores son (escríbelos de menor a mayor): El término independiente es: ± ± ± ± ± ± ± ± Vamos a factorizar el polinomio: P(x)= x4-x3-10x2+4x+24 Para empezar el método de Ruffini procedemos colocando los coeficientes del polinomio de la siguiente forma... Las posibles raíces enteras del polinomio están entre los divisores del término independiente (el nº sin letra 24) Divisores de 24={±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24} G4 G3 G3 G1 G0 Probamos si -1 es raíz del polinomio P(x)= x4-x3-10x2+4x+24 Veamos si es divisible por: -1 Coeficientes del cociente (x-(-1)) = (x+1) No es divisible Es divisible Resto Probamos si -2 es raíz del polinomio: P(x)= x4-x3-10x2+4x+24 Veamos si es divisible por: -2 Coeficientes del cociente 1 -1 -10 4 24 (x-(-2))=(x+2) No es divisible Es divisible Resto Probamos si 2 es raíz del polinomio: P(x)= x4-x3-10x2+4x+24 Veamos si es divisible por: 2 Coeficientes del cociente 1 -1 -10 4 24 (x-(2))=(x-2) No es divisible Es divisible Resto Probamos si 3 es raíz del polinomio: P(x)= x4-x3-10x2+4x+24 Veamos si es divisible por: 3 Coeficientes del cociente 1 -1 -10 4 24 (x-(3))=(x-3) No es divisible Es divisible Resto Dado el polinomio anterior: P(x)= x4-x3-10x2+4x+24 2) Descompón en factores el polinomio: 1) Escribe las raíces obtenidas previamente, ordenadasde menor a mayor: P(x)=(x+ )2(x- )(x- ) P(x)=(x-( ))·(x-( ))·(x-( ))·(x-( )) Una raíz está repetida dos veces: por eso el factor correspondiente aparece elevado al cuadrado. Representación gráfica del polinomio: Raíces del polinomio eje de abscisas Gráficamente, son los puntos de corte de la gráfica de la función polinómica con el eje X. raíz doble P(x)= x4-x3-10x2+4x+24 eje de ordenadas Halla las raíces y factoriza: Divisores de -6 = {± Probaremos con 1, 2 y 3 ( ͡❛ ͜ʖ ͡❛)_/¯Cada vez que realizas la regla de Ruffini, el polinomio resultante tiene un grado menos que el de partida. Aquí se muestra la factorización terminada: P(x)= =(x-1)·(x-2)·(x-3)·(x+1) ; ± ; ± ; ± Q(x)= x4-5x3+5x2+5x-6 } El último cociente, que en este caso es un polinomio de grado 1, es el último factor. G4 G3 0 G2 Resto G1 0 Resto G0 0 Resto Halla las raíces y factoriza: Divisores de 4 = {± Para que el polinomio tenga término independiente, sacamos factor común 4x: Probaremos con 1, 2 y -1 F(x)= 4x(x4-5x2+4) Aquí se muestra la factorización terminada:el factor 4x significaque x=0 es raíz de F(x) F(x)= 4x(x-1)·(x-2)·(x+1)·(x+2) ; ± ; ± } F(x)= 4x5-20x3+16x El último cociente, que en este caso es un polinomio de grado 1, es el último factor. G4 G3 0 G2 Resto G1 0 Resto G0 0 Resto Halla las raíces y factoriza: ( ͡❛ ͜ʖ ͡❛)_/¯Cada vez que realizas la regla de Ruffini, el polinomio resultante tiene un grado menos que el de partida. Divisores de -21 = {± Aquí se muestra la factorización terminada: P(x)= =(x-1)·(x+7)·(x2+3) ; ± ; ± } A(x)= x4+6x3-4x2+18x-21 El último cociente en este caso es un polinomio de grado 2 irreducible: la ecuación x2+3=0 no tiene soluciones reales. G4 G3 G2 G1 0 Resto G0 0 Resto Halla las raíces y factoriza: B(x)=( )·( )·( )·(x+2) Divisores de 4 = {± ( ͡❛ ͜ʖ ͡❛)_/¯ Piensa con qué divisor empezar. Si no sale 0 en el resto, elige otro. Escribe tú la factorización terminada: ; ± ; ± } B(x)= x4-5x2+4 El último cociente, que en este casoes un polinomio de grado 1, x+2, es el último factor. G4 G3 0 G2 Resto G1 0 Resto G0 0 Resto ( ͡❛ ͜ʖ ͡❛)_/¯ Piensa con qué divisor empezar. - Si no sale 0 en el resto, elige otro.- Si el resto da 0, puedes volver a probar con el mismo divisor, ya queel polinomio puede tener raícesrepetidas. Halla las raíces y factoriza: B(x)=( )·( )·( )·( ) Divisores de 2 = {± Escribe tú la factorización terminada: ; ± } G(x)= x4+x3-3x2-x+2 G4 G3 0 G2 Resto G1 0 Resto G0 0 Resto |