Determinante de una matriz

DETERMINANTE

DE UNA MATRIZ

Regla de Sarrus
Determinante de una matriz (cuadrada)
Ejemplo:

1

3

a11

a21

5

a22

4

a12
=
=
a11a22-a12a21

1·5 - 4·3 = 5-12 =

1
5
4
3

un número

real

Determinante de una matriz (cuadrada)
Ejemplo:

1

-3

-2

0

12

5

4

5

=
=

(-2)·5-12·0=-10-0=

(-2)

1·5-4·(-3)=5+12=

5
12
0

Calcula el determinante de las siguintes

matrices cuadradas:

Ejemplo:

11

-3

-2

-4

12

-5

6

7

=
=

A matriz

                     <

de orden  2

A= 0 ⇨ rango(A) = 0
A≠0 <

&#124;A&#124;≠0  ⇨ rango(A) = 2

&#124;A&#124;=0 ⇨ rango(A) = 1

B=
A=

¿Cual de las matrices

es regular?

Calcula el rango de las siguientes matrices:
3
 5
2
0
-1
-2
1
4
&#124;A&#124;=
&#124;B&#124;=

A es regular

B es regular

Ambas son regulares

rang(A)=
rang(B)=
A=
B=
¿Que matriz es singular?
Calcula el rango de las siguientes matrices:

-1

-5

2
 5
-1
-2
1
4
&#124;A&#124;=
&#124;B&#124;=

Ambas son regulares

Ambas son singulares

La matriz A es singular

La matriz B es singular

rang(A)=
rang(B)=
A=
B=
Calcula el rango de las siguientes matrices:
 10

-1

-5

2
-1

2

4

3

&#124;A&#124;=
A es una matriz
&#124;B&#124;=
B es una matriz
escribe: regular o singular
rang(A)=
rang(B)=

Singular

Regular

&#124;A&#124;=

Determinante de una matriz de orden 3:

-3     2     0

 1     3   -1

 0     4     2

a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23-a13a22a31-a23a32a11-a33a12a21

A=

= 1·4·0+0·2·(-1)+(-3)·3·2

  -(-1)·4·(-3) -2·2·1-0·0·3 =

  0+0-18-12-4-0=

a31    a32   a33
a21    a22    a23
a11    a12    a13
Cacula los determinantes:
  -2       1      -2
  -2       1      -2
   1        3       4
  1        2        3
 -1      -3       4
   2       1      -2
 -1      -3       4
  1        2        3
  1        2        3
=
=
=
  -2       1      -2
   0       1       -2
   1        2       3
  1        0        0
 -1      -3       4
   2       1      -2
  0        0        4
  1        2        3
  1        2        3
=
=
=

&#124;A&#124;=

Cálculo del determinante de una matriz de orden 3:

= a11·                               -a12·                            +a13·                        

A=

= a11·(a22a33-a23a32)-a12·(a21a33-a23a31)+a13·(a21a32-a22a31)=

a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23-a13a22a31-a23a32a11-a33a12a21=

a22   a23

a32   a33

a21    a22    a23
a11    a12    a13
a31    a32   a33

a21   a23

a31   a33

a21   a22

a31   a32

&#124;A&#124;=

= a11·(-1)1+1 ·                    + a12·(-1)1+2·                     +a13·(-1)1+3·   

Cálculo del determinante de una matriz de orden 3:

= a11·                               -a12·                            +a13·                        

= a11·(a22a33-a23a32)-a12·(a21a33-a23a31)+a13·(a21a32-a22a31)=

a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23-a13a22a31-a23a32a11-a33a12a21=

A11

a22   a23

a32   a33

a22   a23

a32   a33

M11

a21   a23

a31   a33

A12

a21   a23

a31   a33

M12

a21   a22

a31   a32

A13

a21   a22

a31   a32

M13

&#124;A&#124;=

Cálculo del determinante de una matriz de orden 3

por los adjuntos de los elementos de una fila:

Adjunto del elemento "aij";   Aij=(-1)i+j·det(Mij)

Mij   es la matriz complementaria del elemento aij

= a11·                               -a12·                            +a13·                        

= a11·(a22a33-a23a32)-a12·(a21a33-a23a31)+a13·(a21a32-a22a31)=

a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23-a13a22a31-a23a32a11-a33a12a21=

a22   a23

a32   a33

a21   a23

a31   a33

a21   a22

a31   a32

Cálculo del determinante de una matriz de orden 3

por los adjuntos de los elementos de una fila:

&#124;A&#124;= ai1·Ai1+ai2·Ai2 +ai3·Ai3

Analogamente se procede para matrices de

orden superior.

i = número de fila entre 1 y 3
i1

i2

i3

DETERMINANTE

DE UNA MATRIZ

Método de Gauss

Este método consiste en transformar la matriz

dada en otra triangular y que tenga el mismo

determinante, aplicando las siguientes propiedades:

Método de Gauss

Nota: El determinante de una matriz triangular es igual

          al producto de los elementos de la diagonal principal.

Si en un determinante a una fila o columna se le suma otra paralela

multiplicada por un número no nulo, el determinante no varía.

Si se permutar dos filas o columnas de un determinante,

este cambia de signo con respecto al original.

Si en un determinante a una fila o columna se le suma otra paralela,

el determinante no varía.

Método de Gauss

El determinante de una matriz triangular es

igual al producto de los elementos de la

diagonal principal.

-2  3  4
3 -1  0
1  2  3
F1↔F2
=-

F2+2·F1

F3-3·F1

-2  3  4
3 -1  0
1  2  3
=-
0 -7 -9
0  7 10
1  2  3
F3+F2
=-
1  2  3
0  7 10
0  0  1

Matriz

triangular

=-7

CÁLCULO DE LA

INVERSA DE UNA MATRIZ

POR DETERMINANTES

Dada una matriz A de orden n, siempre se cumple:

Por lo tanto podemos calcular la matriz inversa

de la forma (despejando en la expresión anterior):

A·(Adjunta(A))T=det(A)·In
A-1
A·(Adj(A))T=&#124;A&#124;·I
(Adj(A))T
&#124;A&#124;

CÁLCULO DEL

RANGO DE UNA MATRIZ

POR DETERMINANTES

Si las filas o columnas de una matriz son

linealmente dependientes, su determinante es 0.

Si el determinante de una matriz cuadrada es 0,

las filas o columnas son linealmente dependientes.

Una matriz de dimensión mxn tiene de rango r

1º Existe un determinante de orden r, extraído

de la matriz, distinto de cero.

2º Todos los determinantes de orden r+1,

extraídos de la matriz, son nulos.

rango r  ⋜ min (m,n)

4º Si todos los determinates de orden 3 dan cero

entonces el rango es 2. En caso contrario

continuamos como en el para 2º (orden 3)...

2º Buscamos una submatriz de A de orden 2

con determinante no nulo.

3º Añadimos a la submatriz anterior una fila y una

columna y calculamos su determinante.

Si la matriz A tiene de dimensión mxn

1º Calculamos el mínimo de m y n:
rango(A) ≤ min (m,n)

POR DETERMINANTES

CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

A=
Tenemos 3 filas                                   ⇨ rang(A)=

Busquemos un determinante de orden 3 no nulo:

0
1
2
-1
0
1
0
1
2
2
-3
1
0
1
2
1
1
-3
=-6+0+2-4-0-0=-8≠0
1
2
1

lineal.  independientes

lineal.  dependientes

Dimensión de A = 4x3
min(3,4) = 3
0
1
1
2
= 2 ≠0
Otros exámenes de interés :

Examen creado con That Quiz — donde se hacen ejercicios de matemáticas y más.