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Mecánica lagrangiana - Examen
Contribuido por: Bustamante
  • 1. La mecánica lagrangiana es un marco matemático para describir la dinámica de sistemas mecánicos en términos de coordenadas, velocidades y fuerzas generalizadas. Se basa en el principio de acción estacionaria, según el cual la dinámica de un sistema se deriva de una única función denominada lagrangiano. El lagrangiano se define como la diferencia entre las energías cinética y potencial del sistema y codifica toda la información necesaria para describir el comportamiento del sistema. Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange a la lagrangiana, se obtienen las ecuaciones de movimiento del sistema, que proporcionan una forma potente y elegante de analizar y resolver problemas mecánicos. La mecánica lagrangiana se utiliza ampliamente en física e ingeniería para estudiar diversos sistemas, desde simples péndulos hasta complejos sistemas multicuerpo, y ofrece un enfoque más general y versátil que la mecánica newtoniana clásica.

    ¿Quién formuló el formalismo de la mecánica lagrangiana?
A) Galileo Galilei
B) Joseph-Louis Lagrange
C) Isaac Newton
D) James Clerk Maxwell
  • 2. El Lagrangiano se define como la diferencia entre ¿cuál de las siguientes energías?
A) Energía cinética y potencial
B) Energía eléctrica y magnética
C) Energía interna y externa
D) Energía térmica y mecánica
  • 3. ¿Cuál es la función utilizada en la mecánica lagrangiana que describe la evolución de un sistema físico a lo largo del tiempo?
A) Reacción
B) Masa
C) Fuerza
D) Acción
  • 4. ¿En qué marco matemático se derivan las ecuaciones de movimiento de la mecánica lagrangiana?
A) Cálculo vectorial
B) Cálculo de variaciones
C) Ecuaciones diferenciales
D) Álgebra lineal
  • 5. ¿Cuál es la función lagrangiana de un sistema?
A) Coordenadas cartesianas y sus derivadas temporales
B) Coordenadas generalizadas, sus derivadas temporales y el tiempo
C) Masa y velocidad
D) Energía potencial y velocidad
  • 6. ¿Qué principio de la mecánica lagrangiana afirma que la naturaleza tiende a tomar caminos que minimizan o maximizan una determinada cantidad?
A) Segunda ley de Newton
B) Ley de Ohm
C) Principio de mínima acción
D) Ley de Hooke
  • 7. ¿Cuál es el término utilizado para describir un conjunto de coordenadas que definen de forma única la configuración de un sistema en mecánica lagrangiana?
A) Coordenadas esféricas
B) Coordenadas generalizadas
C) Coordenadas cartesianas
D) Coordenadas polares
  • 8. En mecánica lagrangiana, ¿cómo se denomina un pequeño cambio en la configuración de un sistema?
A) Desplazamiento real
B) Desplazamiento estacionario
C) Desplazamiento virtual
D) Desplazamiento dinámico
  • 9. ¿En qué año presentó Joseph-Louis Lagrange su trabajo sobre la mecánica lagrangiana a la Academia de Ciencias de Turín?
A) 1755
B) 1760
C) 1803
D) 1788
  • 10. ¿Cuántas coordenadas son necesarias para definir de forma única la configuración de un sistema con N partículas en un espacio tridimensional?
A) N
B) 3N
C) 6N
D) 9
  • 11. ¿Qué establece la segunda ley de Newton en el contexto de un sistema de N partículas?
A) La energía se conserva en todas las interacciones.
B) La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
C) La fuerza neta es igual a la masa por la aceleración para cada partícula.
D) El momento siempre es cero.
  • 12. ¿Cuál es la cantidad fundamental de la mecánica lagrangiana?
A) El lagrangiano
B) El hamiltoniano
C) La función de fuerza
D) La energía cinética
  • 13. En ausencia de un campo electromagnético, ¿cuál es el lagrangiano no relativista para un sistema de partículas?
A) L = V - T
B) L = 2T - V
C) L = T + V
D) L = T - V
  • 14. ¿Cómo se expresa la energía cinética total 'T' para un sistema de partículas?
A) T = Σ (desde k=1 hasta N) m_k2 * v_k
B) T = (1/2) Σ (desde k=1 hasta N) m_k * v_k2
C) T = Σ (desde k=1 hasta N) m_k * v_k
D) T = (1/3) Σ (desde k=1 hasta N) m_k * v_k2
  • 15. ¿Cómo varía la energía potencial 'V' si existe un campo externo o una fuerza impulsora que cambia con el tiempo?
A) V = V(v1, v2, ...)
B) V permanece constante
C) V = V(r1, r2, ...)
D) En términos generales, V = V(r1, r2, ..., v1, v2, ..., t)
  • 16. ¿Puede considerarse cualquier función como un lagrangiano si genera las ecuaciones de movimiento correctas?
A) Solo si excluye la energía potencial.
B) Solo si incluye la energía cinética.
C) Sí, de acuerdo con las leyes de la física.
D) No, solo funciones específicas pueden utilizarse.
  • 17. ¿Qué se introduce junto con el lagrangiano para tener en cuenta las fuerzas disipativas como la fricción?
A) Función de disipación de Rayleigh
B) Ecuaciones de restricción
C) Función de energía potencial
D) Símbolos de Christoffel
  • 18. ¿Qué tipos de restricciones puede manejar directamente la mecánica lagrangiana?
A) Restricciones no holonómicas
B) Restricciones relativistas
C) Restricciones holonómicas
D) Fuerzas disipativas
  • 19. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es un ejemplo de una restricción no holonómica?
A) Restricciones que son integrables.
B) Restricciones que incluyen desigualdades.
C) Restricciones que involucran fricción.
D) Restricciones que dependen de las velocidades de las partículas.
  • 20. En el contexto de la mecánica lagrangiana, ¿qué representan las geodésicas para las partículas libres?
A) Caminos con energía máxima.
B) Trayectorias curvas en el espacio-tiempo.
C) Caminos de aceleración no lineal.
D) Trayectorias o caminos que representan un extremo (máximo o mínimo).
  • 21. ¿Cuál es la importancia de las geodésicas en el espacio real tridimensional plano?
A) Son líneas rectas.
B) Son trayectorias curvas.
C) Representan trayectorias de máxima energía.
D) Son trayectorias de aceleración no lineal.
  • 22. ¿Cuál es la relación entre la segunda ley de Newton y las geodésicas para partículas libres?
A) Las geodésicas representan las trayectorias de fuerza máxima.
B) Las partículas libres siguen geodésicas, que son trayectorias extremas.
C) La segunda ley de Newton no está relacionada con las geodésicas.
D) Las partículas libres se desvían de las geodésicas debido a las fuerzas.
  • 23. ¿Quién introdujo el principio de D'Alembert en 1708?
A) Joseph-Louis Lagrange
B) Jacques Bernoulli
C) Isaac Newton
D) Leonhard Euler
  • 24. ¿En qué año desarrolló D'Alembert este principio para resolver problemas dinámicos?
A) 1755
B) 1708
C) 1788
D) 1743
  • 25. ¿En qué nos permite enfocarnos el principio de D'Alembert en las ecuaciones del movimiento?
A) Solo en las fuerzas restringidas.
B) Tanto en las fuerzas restringidas como en las no restringidas.
C) Solo en las fuerzas no restringidas aplicadas.
D) En los cambios de energía potencial.
  • 26. ¿Por qué no se puede utilizar fácilmente el principio de D'Alembert para establecer ecuaciones de movimiento en un sistema de coordenadas arbitrario?
A) Requiere el conocimiento de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema.
B) El principio solo es válido para sistemas lineales.
C) Solo se puede aplicar al equilibrio estático.
D) Los desplazamientos podrían estar relacionados por una ecuación de restricción.
  • 27. ¿Cuál es la forma de las ecuaciones de Lagrange después de una transformación de coordenadas?
A) (d/dt)(∂L'/∂Qi) = ∂L'/∂Q̇i + Σj λj (∂ϕ'j/∂Q̇i).
B) (d/dt)(∂L'/∂Q̇i) = ∂L'/∂Qi + Σj λj (∂ϕ'j/∂Qi).
C) (d/dt)(∂L/∂q̇i) = ∂L/∂qi.
D) (d/dt)(∂L'/∂Qi) = Σj λj (∂ϕ'j/∂Q̇i).
  • 28. ¿Qué teorema relaciona las cantidades conservadas con las simetrías en el lagrangiano?
A) Teorema de Euler
B) Teorema de Lagrange
C) Teorema de Noether
D) Teorema de Newton
  • 29. En la mecánica lagrangiana, ¿qué representa el símbolo ∇ en el contexto de las fuerzas?
A) El operador rotacional (o rotación)
B) El operador divergencia
C) Un potencial escalar
D) El operador gradiente
  • 30. ¿Qué representa el término ∂L/∂x˙ en la mecánica lagrangiana?
A) d/dt(∂L/∂x)
B) m x˙
C) -∂V/∂x
D) ∇V
  • 31. En la mecánica lagrangiana, ¿qué representa el término d/dt(∂L/∂ẋ)?
A) ∂L/∂x
B) m x¨
C) m ẋ
D) -∂V/∂x
  • 32. ¿Qué variable en el sistema de coordenadas esféricas es cíclica, lo que indica que no aparece explícitamente en el lagrangiano?
A) φ
B) r
C) θ
D) m
  • 33. ¿Qué se conserva debido a que φ es una coordenada cíclica?
A) Energía potencial V(r)
B) Momento lineal pr
C) Energía cinética (1/2)mv²
D) Momento angular pφ
  • 34. ¿Cuál es la expresión para el momento angular conservado pφ en coordenadas esféricas?
A) pφ = mr²sin²(θ)φ̇
B) pφ = m(r² + θ² + φ²)
C) pφ = m(r²θ̇ + sin(θ)φ̇)
D) pφ = (m/2)r²sin(θ)φ̇
  • 35. En la ecuación de Euler-Lagrange para r, ¿qué término representa la fuerza centrípeta?
A) -mr(θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
B) m(r̈ - θ̇² - sin²(θ)φ̇²)
C) mr(θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
D) -m(r̈ + θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
  • 36. En la ecuación de Euler-Lagrange para θ, ¿qué término tiene en cuenta el cambio en el momento angular debido a φ?
A) m(r²θ̇ + sin(θ)cos(θ)φ̇)
B) -mr²sin(θ)cos(θ)φ̇²
C) mr²sin(θ)cos(θ)φ̇²
D) -mr²sin(θ)φ̇
  • 37. ¿Cuál es la expresión para la energía potencial V del sistema del péndulo?
A) Mgy_pend
B) mgy_pend
C) (1/2)mgy_pend2
D) mgx_pend
  • 38. ¿Qué representa el lagrangiano Lcm en el problema de la fuerza central de dos cuerpos?
A) El término correspondiente al movimiento relativo.
B) La energía potencial debido a la fuerza central.
C) La energía cinética total del sistema.
D) El término correspondiente al movimiento del centro de masa.
  • 39. ¿Cuál es la expresión para la masa reducida μ en términos de m1 y m2?
A) μ = m1 * m2 / (m1 + m2).
B) μ = (m1 + m2) / 2.
C) μ = m1 - m2.
D) μ = m1 * m2.
  • 40. En coordenadas polares, ¿cuál es la coordenada cíclica en el lagrangiano de movimiento relativo, Lrel?
A) θ (theta).
B) V (energía potencial).
C) R (posición del centro de masa).
D) r (distancia radial).
  • 41. ¿Cuál es la expresión para la fuerza centrífuga lagrangiana Fcf?
A) Fcf = μrθ˙² = ℓ²/(μr³).
B) Fcf = dV/dr.
C) Fcf = μr²θ˙.
D) Fcf = μr/θ˙.
  • 42. ¿Es el momento canónico 'p' invariante bajo transformaciones de calibre?
A) Sí, es invariante bajo transformaciones de calibre.
B) Depende del sistema específico.
C) La invariancia de calibre no se aplica al momento canónico.
D) No, no es invariante bajo transformaciones de calibre.
  • 43. ¿Qué formulación de la mecánica clásica está estrechamente relacionada con la mecánica lagrangiana?
A) Mecánica hamiltoniana
B) Óptica
C) Mecánica de Routh
D) Formulación en el espacio de los momentos
  • 44. ¿Cómo se puede obtener el Hamiltoniano a partir del Lagrangiano mediante qué transformación?
A) Transformación de Laplace
B) Transformación de Legendre
C) Transformación de Fourier
D) Expansión de Taylor
  • 45. ¿Cuál es una formulación híbrida de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana que maneje de manera eficiente las coordenadas cíclicas?
A) Mecánica relativista
B) Mecánica de Ostrogradsky
C) Formulación en el espacio de los momentos
D) Mecánica de Routh
  • 46. ¿Cuál es un problema potencial al incluir derivadas temporales de orden superior al primero en la mecánica lagrangiana?
A) Inestabilidad de Ostrogradsky
B) Inconsistencia relativista
C) Violación del principio variacional
D) Complejidad hamiltoniana
  • 47. ¿En qué campo se puede aplicar la mecánica lagrangiana utilizando principios variacionales para determinar las trayectorias de los rayos de luz?
A) Mecánica cuántica
B) Electromagnetismo
C) Termodinámica
D) Óptica
  • 48. En las formulaciones relativistas, ¿qué es difícil de manejar de manera explícitamente covariante?
A) Momentos conservados
B) Coordenadas cíclicas
C) Sistemas de múltiples partículas
D) Dinámica de una sola partícula
  • 49. En mecánica cuántica, ¿qué constante fundamental relaciona la acción y la fase cuántica?
A) La velocidad de la luz
B) La constante de Planck
C) La constante gravitacional
D) La constante de Boltzmann
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