ThatQuiz Directorio Inténtalo
Problemas de optimización (máx e mín)
Contribuido por: Mayobre Antón
Queremos construir un edificio de planta rectangular
nunha parcela circular de 6 m de radio. ¿Canto poderá
medir a superficie de cada planta, se queremos ocupar
a maior cantidade de parcela posible?
Problema 1
y m
x m
m
Calcular o área do maior  rectángulo iscrito nunha
cicunferenciade radio 6m.
6 m
6 m
x
6 m
6 m
y
Área = base·altura; A(x,y)= x·y
Relación entre x e y
Polo que  a función área, en
función de x será...
y =   144 -x2
x2+y2 =(     )2
A(x)=
x·   144 -x2 =
144x2-x4
Temos que buscar os  "x" :    A'(x) = 0  e   A''(x)<0
Este problema resólvese maximizando a función:
A'(x)= 0 para:
A(x)=
x= 6·√2
x=-6·√2
 x= √72
x=3

144x2-x4
Quedarán             m2 de
zonas verdes.
A planta do edificio

medirá ...       m2
Aproxima ás unidades
Problema 2
Queremos inscribir un rectángulo de área máxima
nun invernadoiro semicircular de radio 3 m, ver fig.1
Función área:  A(x,y)= 2x·y
Relación entre x e y: x2+y2=32
Función a maximizar: A(x) =2x·√9-x2
fig.1
3m
x m
y m
x>0
Redondea ás centésimas:
Función a maximizar: A(x) =2x·√9-x2
A'(x)=
O rectángulo terá                    m de lango
O rectángulo terá                    m de ancho
A'(x)=0 para  x=
Simplifica esta expresión
    0
   ---
3
2
   ---
   ---
 3·√2
-3·√2
2
2
Queremos cubrir un cilindro de 2m de radio e 4 m
de altura cunha capa de terra de forma cónica, como
indica a figura. ¿Cales serán as dimensións para que
o volume de terra sexa mínimo?
Problema 3
y
2 m
?
4 m
?
Radio do cono = x+2
Altura o cono =  y+4
x
Relación entre x e y:
2
?
y
4
x
Volume a minimizar=Vol. cono -  Vol . cilindro
y
2 m
?
4 m
?
x
Relación entre x e y:
2
?
y
=
y =
4
x
V(x)=
As solucións da ecuación:   V'(x)=0 son
  -2
y
2 m
?
  -1
4 m
?
x
V''(x)>0 para x =
   1
Dimensións do cono:
Radio =         m
Altura=         m
   2
Unha compañía quere unir dous pobos, A e B cunha
tubería, o costo é un 30% máis caro baixo a auga
que por terra. ¿Como debe ser o percorrido que
minimice o costo da construcción?
Problema 4
200 m
A
E
C
800 m
F
D
Masa de auga
B
O problema redúcese a unir C con D cun costo
mínimo:
C
E
Dominio(C(x))={x:0≤x≤800}
Función costo:
200 m
x m
√x2+2002
a (1,3·k) € o metro
F
k > 0
a k € o metro
(800-x) m
D
C'(x)=
O coste será mínimo para os puntos:
C'(x)=0 para os valores de x: <
C'(x)=
 < 0
 = 0
 > 0
, con C''(x)
-
+
 < 0
 = 0
 > 0
O costo ascendeu a:
200 m
C
E
Aproxima os resultados ás centésimas
a (1,3·k) € o metro
m
m
F
(          )
a k € o metro
·k
m
D
Otros exámenes de interés :

Examen creado con That Quiz — donde se practican las matemáticas.