- 1. A Lagrange-mechanika egy matematikai keretrendszer a mechanikai rendszerek dinamikájának leírására általánosított koordinátákkal, sebességekkel és erőkkel. A helyhez kötött cselekvés elvén alapul, ahol a rendszer dinamikája egyetlen függvényből, a Lagrange-függvényből származtatható. A Lagrange-függvényt a rendszer kinetikus és potenciális energiái közötti különbségként definiálják, és a rendszer viselkedésének leírásához szükséges összes információt kódolja. Az Euler-Lagrange-egyenleteket a Lagrange-egyenletre alkalmazva levezethetjük a rendszer mozgásegyenleteit, amelyek hatékony és elegáns módját nyújtják a mechanikai problémák elemzésének és megoldásának. A Lagrange-mechanikát széles körben használják a fizikában és a mérnöki tudományokban a legkülönfélébb rendszerek tanulmányozására, az egyszerű ingáktól az összetett többtestű rendszerekig, és a klasszikus newtoni mechanikához képest általánosabb és sokoldalúbb megközelítést kínál.
Ki fogalmazta meg a Lagrange-mechanika formalizmusát?
A) James Clerk Maxwell
B) Isaac Newton
C) Galileo Galilei
D) Joseph-Louis Lagrange
- 2. Az alábbi energiák közül melyiknek a különbségeként határozzuk meg a Lagrange-egyenletet?
A) Belső és külső energia
B) Kinetikus és potenciális energia
C) Elektromos és mágneses energia
D) Hő- és mechanikai energia
- 3. Mi az a Lagrange-mechanikában használt függvény, amely egy fizikai rendszer időbeli fejlődését írja le?
A) Tömeg
B) Reakció
C) Akció
D) Erő
- 4. A Lagrange-mechanika melyik elve mondja ki, hogy a természet hajlamos olyan pályákat választani, amelyek minimalizálnak vagy maximalizálnak egy bizonyos mennyiséget?
A) Ohm törvénye
B) Hooke törvénye
C) Newton második törvénye
D) A legkisebb beavatkozás elve
- 5. Mi az a kifejezés, amelyet a Lagrange-mechanikában egy rendszer konfigurációját egyértelműen meghatározó koordináták halmazának leírására használunk?
A) Kartéziánus koordináták
B) Általánosított koordináták
C) Polárkoordináták
D) Gömbi koordináták
- 6. A Lagrange-mechanika mozgásegyenleteit melyik matematikai keretrendszer segítségével vezetik le?
A) Differenciálegyenletek
B) Variációszámítás
C) Vektorszámítás
D) Lineáris algebra
- 7. Egy rendszer Lagrange-je mely változók függvénye?
A) Potenciális energia és sebesség
B) Általánosított koordináták, azok időszármazékai és az idő
C) Kartézi koordináták és időszármazékaik
D) Tömeg és sebesség
- 8. A Lagrange-mechanikában hogyan nevezik egy rendszer konfigurációjának kis mértékű változását?
A) Tényleges elmozdulás
B) Dinamikus elmozdulás
C) Helyhez kötött elmozdulás
D) Virtuális elmozdulás
- 9. Melyik évben mutatta be Joseph-Louis Lagrange a lagrange-i mechanikával kapcsolatos munkáját a Torinoi Tudományos Akadémiának?
A) 1788
B) 1755
C) 1760
D) 1803
- 10. Hány koordináta szükséges ahhoz, hogy egy N pontból álló rendszer konfigurációját egy háromdimenziós térben egyértelműen definiáljuk?
A) N
B) 9
C) 6N
D) 3N
- 11. Mit állít Newton második törvénye egy N részecsből álló rendszerben?
A) Az energia minden kölcsönhatás során megmarad.
B) Az erő fordítottan arányos a távolság négyzetével.
C) A lendület mindig nulla.
D) A nettó erő egyenlő a tömeg és a gyorsulás szorzatával minden egyes részecce esetén.
- 12. Mi a Lagrange-mechanika központi fogalma?
A) Az erőfüggvény
B) A kinetikus energia
C) A Lagrangian
D) A Hamilton-függvény
- 13. Elektromágneses mező hiányában, mi a nem-relativisztikus Lagrangian egy részecserendszer számára?
A) L = T + V
B) L = V - T
C) L = T - V
D) L = 2T - V
- 14. Hogyan fejezzük ki a részecskék rendszerének teljes kinetikus energiáját (T)?
A) T = (1/3) * Σ (k=1-től N-ig) m_k * v_k2
B) T = Σ (k=1-től N-ig) m_k2 * v_k
C) T = Σ (k=1-től N-ig) m_k * v_k
D) T = (1/2) * Σ (k=1-től N-ig) m_k * v_k2
- 15. Hogyan változik a potenciális energia 'V' értéke, ha egy időfüggő külső erőhatás vagy vezérlőerő van jelen?
A) A 'V' érték állandó marad.
B) V = V(v1, v2, ...)
C) V = V(r1, r2, ...)
D) Általánosságban: V = V(r1, r2, ..., v1, v2, ..., t)
- 16. Lehet-e bármilyen függvényt Lagrangian-ként kezelni, ha helyes mozgásegyenleteket eredményez?
A) Nem, csak bizonyos függvények használhatók.
B) Csak akkor, ha tartalmazza a kinetikus energiát.
C) Csak akkor, ha nem tartalmazza a potenciális energiát.
D) Igen, a fizikai törvényekkel összhangban.
- 17. Melyik kifejezést vezetik be a Lagrangian mellett annak érdekében, hogy figyelembe vegyük a disszipatív erők, például a súrlódás hatásait?
A) Christoffel-szimbólumok
B) Korlátozó egyenletek
C) Potenciális energia függvény
D) Rayleigh-disszipációs függvény
- 18. Milyen típusú korlátozásokat képes közvetlenül kezelni a Lagrange-mechanika?
A) Relativisztikus korlátozások
B) Holonóm korlátozások
C) Nonholonóm korlátozások
D) Diszszipatív erők
- 19. Melyik a következő állítások közül NEM példa nem-holonomikus korlátozásra?
A) Súrlódást tartalmazó korlátozások
B) Egyenlőtlenségeket tartalmazó korlátozások
C) A részecskék sebességétől függő korlátozások
D) Integrálható korlátozások
- 20. A lagrangiai mechanika keretében, mit jelentenek a geodéziák a szabadon mozgó részecskék számára?
A) Görbe pályák a téridőben
B) Nemlineáris gyorsulási pályák
C) Maximális energiával járó pályák
D) Extrém pályák vagy útvonalak
- 21. Mi a szerepe a geodéziáknak a sík, háromdimenziós térben?
A) Nemlineáris gyorsulási pályákat jelentenek.
B) Görbe vonalak.
C) A maximális energiát képviselő pályákat jelölik.
D) Egyenes vonalak.
- 22. Mi a kapcsolat Newton második törvénye és a szabad részecskék pályái (geodéziák) között?
A) A szabad részecskék eltérnek a geodéziáktól a hatások miatt.
B) Newton második törvénye nincs összefüggésben a geodéziákkal.
C) A szabad részecskék geodéziákat követnek, amelyek a szélsőértékeket képviselő pályák.
D) A geodéziák a maximális erőhatású pályákat jelképezik.
- 23. Ki vezette be D'Alembert elvét 1708-ban?
A) Isaac Newton
B) Joseph-Louis Lagrange
C) Jacques Bernoulli
D) Leonhard Euler
- 24. Melyik évben fejlesztette D'Alembert tovább a elvet a dinamikai problémák megoldásához?
A) 1755
B) 1788
C) 1708
D) 1743
- 25. Milyen aspektusokra koncentrálhatunk a mozgásegyenletekben D'Alembert elve alapján?
A) Mind a korlátozó, mind a nem korlátozó erőkre.
B) Csak a korlátozó erőkre.
C) Csak a külső, nem korlátozó erőkre.
D) A potenciális energia változásaira.
- 26. Miért nem lehet könnyen az D'Alembert-elv segítségével mozgásegyenleteket felállítani egy tetszőleges koordinátarendszerben?
A) A rendszerre ható összes erő ismeretét igényli.
B) A kitérések egy korlátozó egyenlet által lehetnek összefüggésben.
C) Csak statikus egyensúlyra alkalmazható.
D) Az elv csak lineáris rendszerekre érvényes.
- 27. Milyen alakban írhatók fel Lagrange egyenletei egy ponttranszformáció után?
A) (d/dt)(∂L'/∂Qi) = Σj λj (∂ϕ'j/∂Q̇i).
B) (d/dt)(∂L'/∂Qi) = ∂L'/∂Q̇i + Σj λj (∂ϕ'j/∂Q̇i).
C) (d/dt)(∂L/∂q̇i) = ∂L/∂qi.
D) (d/dt)(∂L'/∂Q̇i) = ∂L'/∂Qi + Σj λj (∂ϕ'j/∂Qi).
- 28. Melyik tétel köti össze a megmaradó mennyiségeket a Lagrangian szimmetriáival?
A) Euler tézise
B) Lagrange tézise
C) Noether tézise
D) Newton tézise
- 29. A Lagrangian mechanikában a ∇ szimbólum mit jelent az erők kapcsán?
A) A divergencia operátor
B) A gradiens operátor
C) A rotáció operátor
D) Egy skaláris potenciál
- 30. Mit jelent a ∂L/∂x˙ kifejezés a lagrangiai mechanikában?
A) m x˙
B) -∂V/∂x
C) d/dt(∂L/∂x)
D) ∇V
- 31. A lagrangi mechanikában, mit jelent a d/dt(∂L/∂ẋ) kifejezés?
A) -∂V/∂x
B) m ẋ
C) ∂L/∂x
D) m ẍ
- 32. Melyik változó a gömbkoordinátás rendszerben ismétlődő (ciklikus), és ami azt jelenti, hogy nem szerepel közvetlenül a Lagrangianban?
A) r
B) θ
C) m
D) φ
- 33. Mi marad meg változatlan, mivel φ egy ciklikus koordináta?
A) Potenciális energia: V(r)
B) Kinetikus energia: (1/2)mv²
C) Lineáris impulzus: pr
D) Szögmomentum: pφ
- 34. Hogyan fejezhető ki a megmaradt szöggelati impulzus (pφ) szférikus koordinátákban?
A) pφ = (m/2)r²sin(θ)φ̇
B) pφ = m(r²θ̇ + sin(θ)φ̇)
C) pφ = m(r² + θ² + φ²)
D) pφ = mr²sin²(θ)φ̇
- 35. Az Euler-Lagrange egyenletében, amely az 'r' változót írja le, melyik tag képviseli a centrifugális erőt?
A) -m(r̈ + θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
B) m(r̈ - θ̇² - sin²(θ)φ̇²)
C) -mr(θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
D) mr(θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
- 36. Az Euler-Lagrange egyenletében, amelyik tag felelős a φ változásából adódó szögmomentum változásáért?
A) m(r²θ̇ + sin(θ)cos(θ)φ̇)
B) -mr²sin(θ)cos(θ)φ̇²
C) mr²sin(θ)cos(θ)φ̇²
D) -mr²sin(θ)φ̇
- 37. Mi a kifejezés a fűrészlő rendszer potenciális energiájára (V)?
A) (1/2)mgy_fureszlo2
B) mgy_fureszlo
C) Mgy_fureszlo
D) mgx_fureszlo
- 38. Mit jelent a Lagrangian Lcm a két test közötti, központi erő hatása alatt levő rendszerben?
A) A rendszer teljes mozgási energiája.
B) A központi erő által kiváltott potenciális energia.
C) A tömegközpont mozgását leíró tag.
D) A relatív mozgást leíró tag.
- 39. Hogyan számítható a μ csökkentett tömeg értéke m1 és m2 tömegek segítségével?
A) μ = m1 * m2 / (m1 + m2)
B) μ = m1 * m2
C) μ = m1 - m2
D) μ = (m1 + m2) / 2
- 40. A polárkoordinátákban, mi a ciklikus koordináta a relatív mozgás Lagrangianjában (Lrel)?
A) R (a tömegközpont helyzete).
B) V (potenciális energia).
C) r (sugárirányú távolság).
D) θ (theta, szög).
- 41. Mi a Lagrangian centrifugális erő (Fcf) kifejezése?
A) Fcf = μr/θ˙.
B) Fcf = μrθ˙² = ℓ²/(μr³).
C) Fcf = dV/dr.
D) Fcf = μr²θ˙.
- 42. A kanonikus impulzus (p) invariáns a mérési invarianciussal szemben?
A) Ez a konkrét rendszertől függ.
B) A mérési invariancia nem vonatkozik a kanonikus impulzusra.
C) Nem, nem invariáns a mérési invarianciussal szemben.
D) Igen, invariáns a mérési invarianciussal szemben.
- 43. Melyik a klasszikus mechanika olyan megközelítése, amely szorosan kapcsolódik a Lagrange-féle mechanikához?
A) Lökettel kapcsolatos megközelítés
B) Hamilton-féle mechanika
C) Routh-féle mechanika
D) Optika
- 44. Hogyan lehet a Hamilton-függvényt a Lagrangianból kapni, milyen transzformáció segítségével?
A) Fourier-transzformáció
B) Legendre-transzformáció
C) Laplace-transzformáció
D) Taylor-kitejtés
- 45. Mi az a lagrangiai és hamiltoni mechanika hibrid formája, amely hatékonyan kezeli a ciklikus koordinátákat?
A) Lendület-térbeli megközelítés
B) Routh-féle mechanika
C) Ostrogradszky-féle mechanika
D) Relativisztikus mechanika
- 46. Milyen potenciális problémák merülhetnek fel, ha a Lagrangian mechanikában az első rendnél magasabb rendű időbeli derivatívákat használjuk?
A) Ostrogradszky-féle instabilitás
B) Variációs elv megsértése
C) Hamilton-egyenletek összetettsége
D) Relativisztikai ellentmondás
- 47. Melyik területen alkalmazható a lagrangi mechanika variációs elvek segítségével a fénysugarak pályájának meghatározására?
A) Termodinamika
B) Kvantummechanika
C) Elektromágnesesség
D) Optika
- 48. A relativisztikus megközelítésekben, mi az, ami nem könnyen kezelhető egy nyilvánvalóan kovariáns módon?
A) Megmaradó impulzusok
B) Ciklikus koordináták
C) Egyetlen részecse mozgása
D) Több részecse tartalmú rendszerek
- 49. A kvantummechanikában mely alapvető állandó köti össze a mozgást és a kvantummechanikai fázist?
A) Boltzmann-állandó
B) Gravitációs állandó
C) A fény sebessége
D) Planck-állandó
|