Teoria dei numeri computazionale

Teoria dei numeri computazionale - Esame

1. La teoria computazionale dei numeri è una branca della matematica che si concentra sull'utilizzo di algoritmi e tecniche informatiche per studiare e risolvere problemi legati ai numeri. Comporta l'utilizzo di strumenti computazionali per analizzare concetti e fenomeni della teoria dei numeri, come i numeri primi, la fattorizzazione, l'aritmetica modulare e gli schemi crittografici. Attraverso l'uso di metodi computazionali, i ricercatori e i matematici possono esplorare complesse questioni di teoria dei numeri, sviluppare algoritmi efficienti per la risoluzione di problemi matematici e analizzare il comportamento di varie sequenze di numeri e proprietà. La teoria dei numeri computazionale svolge un ruolo cruciale nella crittografia moderna, nella cifratura dei dati e nella sicurezza dei sistemi di comunicazione digitale, diventando così un'area di studio fondamentale sia per la matematica che per l'informatica.

Quale algoritmo è comunemente usato per trovare il massimo comun divisore (GCD) di due numeri interi?

A) Ricerca binaria
B) Algoritmo euclideo
C) Setaccio di Eratostene
D) Il piccolo teorema di Fermat

2. A cosa serve il teorema del rimando cinese nella teoria computazionale dei numeri?

A) Calcolo dei fattoriali
B) Conversione di decimali in frazioni
C) Trovare i numeri primi
D) Risolvere sistemi di congruenze simultanee

3. Qual è il numero primo più piccolo?

A) 3
B) 1
C) 2
D) 5

4. Che cosa conta la funzione Totiente di Eulero?

A) Conteggio dei numeri pari inferiori a n
B) Numero di interi positivi minori di n che sono coprimari di n
C) Numero di divisori di n
D) Numero di fattori primi di n

5. Che cos'è il teorema di Wilson?

A) Ogni numero è un fattoriale di un altro numero
B) Il prodotto di k numeri consecutivi è divisibile per k!
C) La somma di numeri dispari consecutivi è sempre pari
D) p è un numero primo se e solo se (p-1)! ≡ -1 (mod p)

6. Quanti sono i numeri primi compresi tra 1 e 20 (inclusi)?

A) 9
B) 6
C) 8
D) 7

7. Quale teorema afferma che ogni numero intero pari maggiore di 2 può essere espresso come somma di due numeri primi?

A) Congettura di Goldbach
B) Problema P vs NP
C) Teorema di Pitagora
D) L'ultimo teorema di Fermat

8. Qual è l'ordine del gruppo di interi modulo 7 sotto la moltiplicazione modulo 7?

A) 7
B) 4
C) 5
D) 6

9. Che cos'è un numero Niven?

A) Numero primo superiore a 100
B) Un numero intero divisibile per la somma delle sue cifre.
C) Numero perfetto con fattori primi
D) Numero pari inferiore a 10

10. Come si definisce la funzione di Mobius per un intero positivo n?

A) μ(n) = -1 se n è primo e 0 altrimenti
B) μ(n) = 1 se n è un intero positivo privo di quadrati con un numero pari di fattori primi distinti, μ(n) = -1 se n è privo di quadrati con un numero dispari di fattori primi e μ(n) = 0 se n ha un fattore primo al quadrato
C) μ(n) = n² - n per qualsiasi intero positivo n
D) μ(n) = 1 se n è pari e 0 se n è dispari

11. Cosa indica il valore del simbolo di Legendre (a/p), dove p è un primo dispari?

A) Valore della funzione f(a, p) = a^p
B) Indica se a è un residuo quadratico modulo p
C) Numero di divisori di p+a
D) Numero di soluzioni dell'equazione a² = p (mod m)

12. Qual è il valore di φ(12), dove φ è la funzione totiente di Eulero?

A) 10
B) 6
C) 8
D) 4

13. Che cos'è un primo di Mersenne?

A) Numero primo superiore a 1000
B) Numero primo che è uno meno di una potenza di 2
C) Primo con esattamente 2 fattori
D) Quadrato perfetto che è primo

14. Quale concetto della teoria dei numeri prevede la ricerca di soluzioni intere di equazioni lineari in più variabili?

A) Teorema di Eulero
B) Numeri perfetti
C) Equazioni diofantee
D) Equazione di Pell

15. Qual è il termine che indica un numero che non ha divisori positivi oltre a 1 e a se stesso?

A) Numero composto
B) Numero primo
C) Numero pari
D) Numero dispari

16. Qual è l'ordine di 2 modulo 11?

A) 9
B) 10
C) 11
D) 5

17. Qual è l'uso comune del test di primalità di Miller-Rabin?

A) Calcolo della sequenza di Fibonacci
B) Ordinamento dei numeri in ordine decrescente
C) Verifica della primalità dei numeri grandi
D) Trovare il GCD di due numeri

18. Qual è la funzione divisore σ(n) utilizzata per calcolare?

A) Somma di tutti i divisori positivi di n
B) Numero di numeri perfetti inferiori a n
C) Valore della funzione Totiente di Eulero di n
D) Numero di fattori primi di n

19. Che cos'è una Sophie Germain prime?

A) Primo la cui radice quadrata è prima
B) Primo con 1 solo fattore
C) Numero primo superiore a 100
D) Un primo p tale che 2p + 1 sia anche primo

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