Teoria grup

1. Teoria grup jest gałęzią algebry abstrakcyjnej, która zajmuje się badaniem struktur matematycznych zwanych grupami. Grupa to zbiór wyposażony w operację, która łączy dowolne dwa elementy w celu uzyskania trzeciego elementu w taki sposób, że spełnione są pewne właściwości, takie jak domknięcie, asocjatywność, element tożsamości i odwracalność. Teoria grup ma zastosowanie w różnych dziedzinach, w tym w matematyce, fizyce, chemii i informatyce. Zapewnia ona ramy dla zrozumienia symetrii, transformacji i wzorców oraz ma głębokie implikacje w badaniu grup symetrii, reprezentacji grup i działań grupowych.

Czym jest element tożsamości grupy?

A) Element, który jest najmniejszy w grupie.
B) Parzysta liczba w grupie.
C) Element, który jest największy w grupie.
D) Element w grupie, który po połączeniu z dowolnym innym elementem daje w wyniku ten inny element.

2. Co to znaczy, że operacja grupowa jest asocjacyjna?

A) Dla wszystkich elementów a, b w grupie, a * b = b * a.
B) Dla wszystkich elementów a, b, c w grupie, (a + b) * c = a * (b * c).
C) Dla wszystkich elementów a, b, c w grupie, (a * b) * c = a * (b * c).
D) Dla wszystkich elementów a, b w grupie, a = a * b.

3. Czym jest twierdzenie Lagrange'a w teorii grup?

A) W grupie skończonej porządek podgrupy dzieli porządek grupy.
B) Twierdzenie o algebrze liniowej.
C) Suma wszystkich elementów w grupie jest równa zero.
D) Największy element w grupie.

4. Co to jest grupa abelowa?

A) Grupa bez elementu tożsamości.
B) Grupa, w której operacja grupowa jest komutatywna.
C) Grupa, w której operacja jest zdefiniowana tylko dla liczb nieparzystych.
D) Grupa zawierająca tylko jeden element.

5. Co to znaczy, że grupa jest cykliczna?

A) Grupa, której elementy mogą mieć wiele odwrotności.
B) Grupa bez elementu tożsamości.
C) Grupa generowana przez pojedynczy element.
D) Grupa bez zdefiniowanej operacji.

6. Jaka jest definicja centrum grupy?

A) Zbiór elementów, które łączą się z każdym elementem grupy.
B) Suma wszystkich elementów w grupie.
C) Zbiór odwrotności grupy.
D) Największy element w grupie.

7. Jaka jest definicja porządku grupy?

A) Największy element w grupie.
B) Liczba elementów w grupie.
C) Suma wszystkich elementów w grupie.
D) Najmniejszy element w grupie.

8. Jaka jest definicja grupy symetrycznej?

A) Grupa liczb całkowitych.
B) Grupa zawierająca tylko jeden element.
C) Grupa wszystkich permutacji zbioru.
D) Grupa bez elementu tożsamości.

9. Co to jest grupa permutacji?

A) Grupa, której elementami są permutacje zbioru, a operacją grupową jest złożenie permutacji.
B) Grupa bez elementu tożsamości.
C) Grupa zawierająca tylko jeden element.
D) Grupa liczb całkowitych.

10. Jaka jest definicja podgrupy komutatora?

A) Podgrupa generowana przez wszystkie komutatory.
B) Grupa bez elementu tożsamości.
C) Największy element w grupie.
D) Suma wszystkich elementów w grupie.

11. Do czego odnosi się termin "klasa koniugacji" w teorii grup?

A) Grupa bez elementu tożsamości.
B) Grupa liczb całkowitych.
C) Zbiór elementów, które są ze sobą sprzężone.
D) Grupa zawierająca tylko jeden element.

12. Jaka jest definicja grupy dwuściennej?

A) Grupa zawierająca tylko jeden element.
B) Grupa bez elementu tożsamości.
C) Grupa symetrii wielokąta foremnego.
D) Grupa liczb całkowitych.

13. Jaka jest definicja homomorfizmu między dwiema grupami?

A) Funkcja między dwiema grupami, która zachowuje strukturę grupy.
B) Suma wszystkich elementów w grupie.
C) Największy element w grupie.
D) Najmniejszy element w grupie.

14. Jaka jest definicja grupy ilorazowej?

A) Grupa cosets normalnej podgrupy.
B) Największy element w grupie.
C) Grupa bez elementu tożsamości.
D) Suma wszystkich elementów w grupie.

15. Co to znaczy, że dwie grupy są izomorficzne?

A) Największy element w grupie jest identyczny.
B) Najmniejszy element w grupach jest taki sam.
C) Suma wszystkich elementów w grupie jest taka sama.
D) Grupy mają tę samą strukturę, nawet jeśli elementy mogą być oznaczone inaczej.

16. Czym jest twierdzenie Cayleya w teorii grup?

A) Największy element w grupie.
B) Każda grupa jest izomorficzna do grupy permutacji.
C) Suma wszystkich elementów w grupie.
D) Twierdzenie o algebrze liniowej.

17. Jaka jest definicja automorfizmu grupy?

A) Izomorfizm z grupy do samej siebie.
B) Grupa bez elementu tożsamości.
C) Grupa liczb całkowitych.
D) Grupa zawierająca tylko jeden element.

18. Jaka jest definicja grupy naprzemiennej?

A) Grupa bez elementu tożsamości.
B) Grupa zawierająca tylko jeden element.
C) Grupa liczb całkowitych.
D) Podgrupa grupy symetrycznej składająca się z parzystych permutacji.

Test utworzony z That Quiz — tu znajdziesz testy matematyczne dla uczniów na różnym poziomie.