Teoria grup

1. Teoria grup jest gałęzią algebry abstrakcyjnej, która zajmuje się badaniem struktur matematycznych zwanych grupami. Grupa to zbiór wyposażony w operację, która łączy dowolne dwa elementy w celu uzyskania trzeciego elementu w taki sposób, że spełnione są pewne właściwości, takie jak domknięcie, asocjatywność, element tożsamości i odwracalność. Teoria grup ma zastosowanie w różnych dziedzinach, w tym w matematyce, fizyce, chemii i informatyce. Zapewnia ona ramy dla zrozumienia symetrii, transformacji i wzorców oraz ma głębokie implikacje w badaniu grup symetrii, reprezentacji grup i działań grupowych.

Czym jest element tożsamości grupy?

A) Parzysta liczba w grupie.
B) Element, który jest najmniejszy w grupie.
C) Element, który jest największy w grupie.
D) Element w grupie, który po połączeniu z dowolnym innym elementem daje w wyniku ten inny element.

2. Co to znaczy, że operacja grupowa jest asocjacyjna?

A) Dla wszystkich elementów a, b, c w grupie, (a * b) * c = a * (b * c).
B) Dla wszystkich elementów a, b w grupie, a * b = b * a.
C) Dla wszystkich elementów a, b w grupie, a = a * b.
D) Dla wszystkich elementów a, b, c w grupie, (a + b) * c = a * (b * c).

3. Czym jest twierdzenie Lagrange'a w teorii grup?

A) Suma wszystkich elementów w grupie jest równa zero.
B) W grupie skończonej porządek podgrupy dzieli porządek grupy.
C) Twierdzenie o algebrze liniowej.
D) Największy element w grupie.

4. Co to jest grupa abelowa?

A) Grupa, w której operacja jest zdefiniowana tylko dla liczb nieparzystych.
B) Grupa zawierająca tylko jeden element.
C) Grupa bez elementu tożsamości.
D) Grupa, w której operacja grupowa jest komutatywna.

5. Co to znaczy, że grupa jest cykliczna?

A) Grupa bez zdefiniowanej operacji.
B) Grupa generowana przez pojedynczy element.
C) Grupa bez elementu tożsamości.
D) Grupa, której elementy mogą mieć wiele odwrotności.

6. Jaka jest definicja centrum grupy?

A) Największy element w grupie.
B) Suma wszystkich elementów w grupie.
C) Zbiór odwrotności grupy.
D) Zbiór elementów, które łączą się z każdym elementem grupy.

7. Jaka jest definicja porządku grupy?

A) Liczba elementów w grupie.
B) Najmniejszy element w grupie.
C) Największy element w grupie.
D) Suma wszystkich elementów w grupie.

8. Jaka jest definicja grupy symetrycznej?

A) Grupa bez elementu tożsamości.
B) Grupa zawierająca tylko jeden element.
C) Grupa liczb całkowitych.
D) Grupa wszystkich permutacji zbioru.

9. Co to jest grupa permutacji?

A) Grupa zawierająca tylko jeden element.
B) Grupa, której elementami są permutacje zbioru, a operacją grupową jest złożenie permutacji.
C) Grupa liczb całkowitych.
D) Grupa bez elementu tożsamości.

10. Jaka jest definicja podgrupy komutatora?

A) Podgrupa generowana przez wszystkie komutatory.
B) Suma wszystkich elementów w grupie.
C) Grupa bez elementu tożsamości.
D) Największy element w grupie.

11. Do czego odnosi się termin "klasa koniugacji" w teorii grup?

A) Grupa liczb całkowitych.
B) Grupa zawierająca tylko jeden element.
C) Grupa bez elementu tożsamości.
D) Zbiór elementów, które są ze sobą sprzężone.

12. Jaka jest definicja grupy dwuściennej?

A) Grupa symetrii wielokąta foremnego.
B) Grupa bez elementu tożsamości.
C) Grupa liczb całkowitych.
D) Grupa zawierająca tylko jeden element.

13. Jaka jest definicja homomorfizmu między dwiema grupami?

A) Funkcja między dwiema grupami, która zachowuje strukturę grupy.
B) Suma wszystkich elementów w grupie.
C) Najmniejszy element w grupie.
D) Największy element w grupie.

14. Jaka jest definicja grupy ilorazowej?

A) Grupa cosets normalnej podgrupy.
B) Suma wszystkich elementów w grupie.
C) Grupa bez elementu tożsamości.
D) Największy element w grupie.

15. Co to znaczy, że dwie grupy są izomorficzne?

A) Suma wszystkich elementów w grupie jest taka sama.
B) Największy element w grupie jest identyczny.
C) Najmniejszy element w grupach jest taki sam.
D) Grupy mają tę samą strukturę, nawet jeśli elementy mogą być oznaczone inaczej.

16. Czym jest twierdzenie Cayleya w teorii grup?

A) Największy element w grupie.
B) Twierdzenie o algebrze liniowej.
C) Suma wszystkich elementów w grupie.
D) Każda grupa jest izomorficzna do grupy permutacji.

17. Jaka jest definicja automorfizmu grupy?

A) Grupa bez elementu tożsamości.
B) Izomorfizm z grupy do samej siebie.
C) Grupa zawierająca tylko jeden element.
D) Grupa liczb całkowitych.

18. Jaka jest definicja grupy naprzemiennej?

A) Grupa zawierająca tylko jeden element.
B) Grupa liczb całkowitych.
C) Podgrupa grupy symetrycznej składająca się z parzystych permutacji.
D) Grupa bez elementu tożsamości.

Test utworzony z That Quiz — tu znajdziesz testy matematyczne dla uczniów na różnym poziomie.