- 1. Teoria liczb to gałąź matematyki zajmująca się właściwościami i związkami liczb. Obejmuje ona badanie liczb całkowitych, liczb pierwszych, podzielności, równań i różnych systemów liczbowych. Teoria liczb jest niezbędna w wielu dziedzinach matematyki, w tym w kryptografii, informatyce i fizyce. Bada wzorce w liczbach i stara się zrozumieć fundamentalną naturę operacji arytmetycznych. Ogólnie rzecz biorąc, teoria liczb odgrywa kluczową rolę w rozwiązywaniu problemów matematycznych i ma praktyczne zastosowania w różnych dziedzinach.
Która z poniższych liczb nie jest liczbą pierwszą?
A) 31
B) 23
C) 17
D) 9
- 2. Jaka jest suma 5 liczb pierwszych?
A) 20
B) 18
C) 35
D) 28
- 3. Jaka jest największa liczba pierwsza mniejsza niż 50?
A) 43
B) 53
C) 47
D) 37
- 4. Jaka jest najmniejsza liczba pierwsza?
A) 5
B) 2
C) 1
D) 3
- 5. Jaki jest wynik podniesienia do kwadratu liczby nieparzystej?
A) Zawsze liczba parzysta.
B) Zawsze wielokrotność 3.
C) Może być nieparzysta lub parzysta.
D) Zawsze nieparzysta liczba.
- 6. Jaka jest pierwsza faktoryzacja liczby 36?
A) 6 * 6
B) 4 * 9
C) 22 * 32
D) 2 * 3 * 4
- 7. Jaka jest suma pierwszych 10 liczb nieparzystych?
A) 110
B) 120
C) 100
D) 80
- 8. Jaka jest najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb 12 i 18?
A) 30
B) 36
C) 42
D) 24
- 9. Ile dzielników ma liczba 24?
A) 6
B) 12
C) 8
D) 10
- 10. Jaka jest następna liczba pierwsza po 19?
A) 23
B) 29
C) 27
D) 25
- 11. Jaka jest suma pierwszych 10 liczb parzystych?
A) 110
B) 90
C) 100
D) 120
- 12. Ile wynosi iloczyn 3 liczb pierwszych?
A) 30
B) 36
C) 42
D) 48
- 13. Jaka jest suma pierwszych 10 liczb całkowitych dodatnich?
A) 50
B) 55
C) 60
D) 45
- 14. Jaka jest suma kwadratów 3 pierwszych liczb naturalnych?
A) 14
B) 16
C) 18
D) 12
- 15. Ile wynosi iloczyn 5 liczb pierwszych?
A) 210
B) 120
C) 360
D) 2310
- 16. Ile wynosi LCM liczb 12 i 15?
A) 60
B) 24
C) 30
D) 45
- 17. Która z poniższych liczb jest liczbą silnie zespoloną?
A) 18
B) 15
C) 20
D) 12
- 18. Jaka jest najmniejsza liczba zespolona?
A) 5
B) 6
C) 4
D) 8
- 19. Jaka jest następna liczba pierwsza po 89?
A) 93
B) 97
C) 101
D) 91
- 20. Ile wynosi GCD liczb 18 i 24?
A) 8
B) 6
C) 4
D) 3
- 21. Liczba całkowita 'a' jest podzielna przez liczbę całkowitą 'b' różną od zera, jeśli istnieje liczba całkowita 'q' taka, że:
A) a - b = q
B) a = bq
C) a + b = q
D) ab = q
- 22. Które twierdzenie Carl Friedrich Gauss udowodnił w dziele 'Disquisitiones Arithmeticae'?
A) Twierdzenie o czterech kwadratach
B) Twierdzenie Wilsona
C) Twierdzenie o liczbach pierwszych
D) Prawo kwadratowej wzajemności
- 23. Które z poniższych zagadnień jest głównym przedmiotem badań w elementarnej teorii liczb?
A) Rachunek różniczkowy i całkowy
B) Geometria algebraiczna
C) Topologia
D) Dzielność
- 24. Które twierdzenie wiąże się z nieskończonością liczb pierwszych?
A) Małe twierdzenie Fermata
B) Dowód Euklidesa na nieskończoność liczb pierwszych
C) Chińskie twierdzenie o resztach
D) Twierdzenie Wilsona
- 25. Które twierdzenie Pierre'a de Fermata dotyczy arytmetyki modularnej?
A) Małe twierdzenie Fermata
B) Prawo wzajemności kwadratowej
C) Chińskie twierdzenie o resztach
D) Twierdzenie o czterech kwadratach
- 26. Która funkcja przybliża funkcję π(x) w rozkładzie liczb pierwszych?
A) ex
B) x / log(x)
C) sqrt(x)
D) (log(x))2
- 27. Który program stara się uogólnić teorię klas pól na rozszerzenia nieabelowe?
A) Sama teoria klas pól
B) Teoria liczb idealnych
C) Teoria Iwasawy
D) Program Langlandsa
- 28. Co oznacza, że dwie liczby całkowite są względnie pierwsze?
A) Ich największy wspólny dzielnik wynosi 1.
B) Nie mają żadnych wspólnych czynników poza samymi sobą.
C) Obie liczby są parzyste.
D) Jedna z nich jest liczbą pierwszą.
- 29. Jakie jest kluczowe pytanie w kombinatoryce w kontekście teorii liczb?
A) Czy nieskończony zbiór o dużej gęstości zawiera wiele elementów tworzących ciąg arytmetyczny?
B) Jak rozwiązać równania kwadratowe, używając liczb całkowitych?
C) Jaka jest maksymalna wartość wielomianu o współczynnikach będących liczbami całkowitymi?
D) Jakie jest rozkłady liczb złożonych?
- 30. Która z cywilizacji wykorzystywała metodę Da-yan-shu w swoich obliczeniach matematycznych?
A) Babilońska
B) Egipska
C) Grecka
D) Chińska
- 31. Które z poniższych problemów matematycznych pozostaje nierozwiązane od XVIII wieku?
A) Ostatnie twierdzenie Fermata
B) Hipoteza Riemanna
C) Hipoteza Goldbacha
D) Równanie Pella
- 32. Jak nazywa się metoda, zbliżona do algorytmu Euklidesa, używana przez Āryabhaṭę?
A) Kuṭṭaka
B) Analiza diofantyczna
C) Geometria algebraiczna
D) Równanie Pella
- 33. Jak nazywa się twierdzenie, które mówi, że liczba jest liczbą pierwszą, jeśli dzieli (p-1)! + 1?
A) Małe twierdzenie Fermata
B) Prawo kwadratowej wzajemności
C) Chińskie twierdzenie o resztach
D) Twierdzenie Wilsona
- 34. Jak nazywa się twierdzenie, które mówi, że każdą liczbę całkowitą można wyrazić jako sumę czterech kwadratów?
A) Twierdzenie Pitagorasa
B) Chińskie twierdzenie o resztach
C) Twierdzenie czterech kwadratów
D) Prawo wzajemności kwadratowej
- 35. Praca którego matematyka zainspirowała Leonharda Eulera do zainteresowania się teorią liczb?
A) Carl Friedrich Gauss
B) Pierre de Fermat
C) Joseph-Louis Lagrange
D) Christian Goldbach
- 36. Jakie są dwa główne pytania dotyczące obliczeń w teorii liczb?
A) "Czy istnieją nieskończenie wiele rozwiązań?" oraz "Do jakiej klasy złożoności należy ten problem?"
B) "Czy ten problem jest nierozwiązywalny?" oraz "Ile rozwiązań istnieje?"
C) "Czy można to obliczyć?" oraz "Czy można to obliczyć szybko?"
D) "Czy to rozwiązanie jest unikalne?" oraz "Czy można to przedstawić graficznie?"
- 37. Która gałąź matematyki zajmuje się granicami, gdy argumenty zbliżają się do określonych wartości?
A) Algebra
B) Geometria
C) Topologia
D) Analiza
- 38. Który algorytm oblicza największy wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych?
A) Sito Eratostenesa
B) Małe twierdzenie Fermata
C) Funkcja Eulera
D) Algorytm Euklidesa
- 39. Jakie zagadnienia są przedmiotem badań w geometrii diofantańskiej?
A) Liczby całkowite algebraiczne.
B) Liczby wymierne.
C) Liczby całkowite jako rozwiązania równań.
D) Liczby pierwsze.
- 40. Który matematyk jest znany z prac dotyczących ułamków łańcuchowych i równania Pella?
A) Leonhard Euler
B) Carl Friedrich Gauss
C) Adrien-Marie Legendre
D) Joseph-Louis Lagrange
- 41. Która z tych metod jest lepiej opisana w drugim z definicji teorii liczb analitycznych?
A) Funkcje L
B) Formy modularne
C) Teoria przesiewowa
D) Metoda okręgowa
- 42. Na której z tablicet starożytnej cywilizacji znajduje się lista liczb Pitagorasa?
A) Grecka
B) Chińska
C) Egipska
D) Babilońska
- 43. Kto udowodnił ostatnie twierdzenie Fermata dla n=5?
A) Adrien-Marie Legendre
B) Carl Friedrich Gauss
C) Leonhard Euler
D) Joseph-Louis Lagrange
- 44. Które pojęcie matematyczne Euler wykorzystał w swoich pracach z teorii liczb?
A) Formy kwadratowe
B) Szeregi potęgowe
C) Geometria analityczna
D) Prawa wzajemności
- 45. Kto powiedział: „Matematyka jest królową nauk, a teoria liczb jest królową matematyki”?
A) Leonhard Euler
B) Carl Friedrich Gauss
C) Joseph-Louis Lagrange
D) Pierre de Fermat
- 46. Który algorytm opiera się na trudności rozkładania dużych liczb złożonych na czynniki?
A) RSA
B) Sito Eratostenesa
C) Algorytm Euklidesa
D) Szybka transformata Fouriera
- 47. Jakie rodzaje liczb są rozwiązaniami równań wielomianowych z współczynnikami wymiernymi?
A) Liczby zespolone
B) Liczby algebraiczne
C) Liczby transcendentalne
D) Liczby niewymierne
- 48. Które rozszerzenia są stosunkowo dobrze poznane w teorii liczb?
A) Rozszerzenia nieabelowe
B) Rozszerzenia abelowe
C) Rozszerzenia cykliczne
D) Rozszerzenia kwadratowe
- 49. Który matematyk wprowadził pojęcie liczb idealnych, aby rozwiązać problem braku jednoznacznego rozkładu na czynniki?
A) Kummer
B) Kröncker
C) Gauss
D) Eisenstein
- 50. Które twierdzenie opracował Bernhard Riemann, które stanowi punkt wyjścia dla teorii liczb analitycznych?
A) Prawo wzajemności kwadratowej
B) Chińskie twierdzenie o resztach
C) Twierdzenie o czterech kwadratach
D) Funkcja zeta Riemanna
- 51. W arytmetyce modularnej, co oznacza, że dwie liczby całkowite 'a' i 'b' są kongruentne modulo 'n'?
A) Iloczyn 'a' i 'b' jest równy 'n'.
B) Różnica 'a - b' jest liczbą pierwszą.
C) 'n' jest dzielnikiem różnicy (a - b).
D) Suma 'a' i 'b' jest równa 'n'.
- 52. Nad jakim zagadnieniem matematycznym pracował Diophantus w swoim dziele 'Arytmetyka'?
A) Formy kwadratowe
B) Równania diofantyczne
C) Prawo wzajemności
D) Geometria analityczna
|