Teoria computacional dos números

Teoria computacional dos números - Teste

1. A teoria computacional dos números é um ramo da matemática que se centra na utilização de algoritmos e técnicas informáticas para estudar e resolver problemas relacionados com os números. Envolve a utilização de ferramentas computacionais para analisar conceitos e fenómenos da teoria dos números, tais como números primos, factorização, aritmética modular e esquemas criptográficos. Através da utilização de métodos computacionais, os investigadores e matemáticos podem explorar questões complexas da teoria dos números, desenvolver algoritmos eficientes para resolver problemas matemáticos e analisar o comportamento de várias sequências e propriedades dos números. A teoria computacional dos números desempenha um papel crucial na criptografia moderna, na encriptação de dados e na segurança dos sistemas de comunicação digital, o que a torna uma área de estudo fundamental tanto na matemática como na informática.

Que algoritmo é normalmente utilizado para encontrar o maior divisor comum (GCD) de dois números inteiros?

A) Pesquisa binária
B) Peneira de Eratóstenes
C) O pequeno teorema de Fermat
D) Algoritmo Euclidiano

2. Para que é que o Teorema do Resto Chinês é utilizado na teoria computacional dos números?

A) Encontrar números primos
B) Conversão de decimais em fracções
C) Cálculo de factoriais
D) Resolução de sistemas de congruências simultâneas

3. Qual é o número primo mais pequeno?

A) 2
B) 5
C) 3
D) 1

4. O que é que a função Totiente de Euler conta?

A) Número de divisores de n
B) Contagem de números pares inferiores a n
C) Número de factores primos de n
D) Número de números inteiros positivos inferiores a n que são coprimos de n

5. O que é o Teorema de Wilson?

A) A soma de números ímpares consecutivos é sempre par
B) O produto de k números consecutivos quaisquer é divisível por k!
C) Todo o número é um fatorial de outro número
D) p é um número primo se e só se (p-1)! ≡ -1 (mod p)

6. Quantos números primos existem entre 1 e 20 (inclusive)?

A) 7
B) 9
C) 8
D) 6

7. Qual é o teorema que afirma que todo o número inteiro par maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois números primos?

A) O último teorema de Fermat
B) Conjetura de Goldbach
C) Teorema de Pitágoras
D) Problema P vs NP

8. Qual é a ordem de 2 módulo 11?

A) 11
B) 10
C) 9
D) 5

9. Qual é o valor de φ(12), onde φ é a função totiente de Euler?

A) 4
B) 6
C) 10
D) 8

10. O que é um primo de Mersenne?

A) Número primo que é menos um do que uma potência de 2
B) Primos com exatamente 2 factores
C) Quadrado perfeito que é primo
D) Número primo maior que 1000

11. Qual é a ordem do grupo dos números inteiros módulo 7 sob a multiplicação módulo 7?

A) 7
B) 6
C) 4
D) 5

12. O que é uma Sophie Germain prime?

A) Primeiro p tal que 2p + 1 também é primo
B) Prime com apenas 1 fator
C) Número primo maior que 100
D) Primo cuja raiz quadrada é primo

13. Como se designa um número que não tem divisores positivos para além de 1 e de si próprio?

A) Número ímpar
B) Número primo
C) Número composto
D) Número par

14. O que é que indica o valor do símbolo de Legendre (a/p), em que p é um primo ímpar?

A) Número de soluções para a equação a² = p (mod m)
B) Valor da função f(a, p) = a^p
C) Número de divisores de p+a
D) Indica se a é um resíduo quadrático módulo p

15. O que é um número Niven?

A) Número inteiro que é divisível pela soma dos seus algarismos
B) Número par inferior a 10
C) Número perfeito com factores primos
D) Número primo maior que 100

16. Que conceito da teoria dos números envolve encontrar soluções inteiras para equações lineares em múltiplas variáveis?

A) Teorema de Euler
B) Equações Diofantinas
C) Números perfeitos
D) Equação de Pell

17. Qual é a função divisora σ(n) utilizada para calcular?

A) Valor da função de Euler para o quociente de n
B) Número de factores primos de n
C) Soma de todos os divisores positivos de n
D) Número de números perfeitos inferiores a n

18. Qual é a utilização comum do teste de primalidade de Miller-Rabin?

A) Determinar o GCD de dois números
B) Calcular a sequência de Fibonacci
C) Ordenar números por ordem decrescente
D) Verificar a primalidade de números grandes

19. Como é que a função de Mobius é definida para um número inteiro positivo n?

A) μ(n) = 1 se n for um número inteiro positivo sem quadrado com um número par de factores primos distintos, μ(n) = -1 se n for sem quadrado com um número ímpar de factores primos e μ(n) = 0 se n tiver um fator primo ao quadrado
B) μ(n) = -1 se n for primo e 0 caso contrário
C) μ(n) = n² - n para qualquer número inteiro positivo n
D) μ(n) = 1 se n for par e 0 se n for ímpar

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