Teoria computacional dos números

1. A teoria computacional dos números é um ramo da matemática que se centra na utilização de algoritmos e técnicas informáticas para estudar e resolver problemas relacionados com os números. Envolve a utilização de ferramentas computacionais para analisar conceitos e fenómenos da teoria dos números, tais como números primos, factorização, aritmética modular e esquemas criptográficos. Através da utilização de métodos computacionais, os investigadores e matemáticos podem explorar questões complexas da teoria dos números, desenvolver algoritmos eficientes para resolver problemas matemáticos e analisar o comportamento de várias sequências e propriedades dos números. A teoria computacional dos números desempenha um papel crucial na criptografia moderna, na encriptação de dados e na segurança dos sistemas de comunicação digital, o que a torna uma área de estudo fundamental tanto na matemática como na informática.

Que algoritmo é normalmente utilizado para encontrar o maior divisor comum (GCD) de dois números inteiros?

A) Peneira de Eratóstenes
B) Algoritmo Euclidiano
C) O pequeno teorema de Fermat
D) Pesquisa binária

2. Para que é que o Teorema do Resto Chinês é utilizado na teoria computacional dos números?

A) Resolução de sistemas de congruências simultâneas
B) Cálculo de factoriais
C) Conversão de decimais em fracções
D) Encontrar números primos

3. Qual é o número primo mais pequeno?

A) 5
B) 2
C) 1
D) 3

4. O que é que a função Totiente de Euler conta?

A) Número de divisores de n
B) Contagem de números pares inferiores a n
C) Número de factores primos de n
D) Número de números inteiros positivos inferiores a n que são coprimos de n

5. O que é o Teorema de Wilson?

A) O produto de k números consecutivos quaisquer é divisível por k!
B) Todo o número é um fatorial de outro número
C) p é um número primo se e só se (p-1)! ≡ -1 (mod p)
D) A soma de números ímpares consecutivos é sempre par

6. Quantos números primos existem entre 1 e 20 (inclusive)?

A) 7
B) 9
C) 8
D) 6

7. Qual é o teorema que afirma que todo o número inteiro par maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois números primos?

A) Teorema de Pitágoras
B) O último teorema de Fermat
C) Problema P vs NP
D) Conjetura de Goldbach

8. Qual é a ordem de 2 módulo 11?

A) 10
B) 5
C) 9
D) 11

9. Qual é o valor de φ(12), onde φ é a função totiente de Euler?

A) 4
B) 8
C) 10
D) 6

10. O que é um primo de Mersenne?

A) Primos com exatamente 2 factores
B) Número primo que é menos um do que uma potência de 2
C) Número primo maior que 1000
D) Quadrado perfeito que é primo

11. Qual é a ordem do grupo dos números inteiros módulo 7 sob a multiplicação módulo 7?

A) 6
B) 4
C) 5
D) 7

12. O que é uma Sophie Germain prime?

A) Número primo maior que 100
B) Prime com apenas 1 fator
C) Primo cuja raiz quadrada é primo
D) Primeiro p tal que 2p + 1 também é primo

13. Como se designa um número que não tem divisores positivos para além de 1 e de si próprio?

A) Número composto
B) Número par
C) Número primo
D) Número ímpar

14. O que é que indica o valor do símbolo de Legendre (a/p), em que p é um primo ímpar?

A) Número de soluções para a equação a² = p (mod m)
B) Indica se a é um resíduo quadrático módulo p
C) Valor da função f(a, p) = a^p
D) Número de divisores de p+a

15. O que é um número Niven?

A) Número primo maior que 100
B) Número par inferior a 10
C) Número perfeito com factores primos
D) Número inteiro que é divisível pela soma dos seus algarismos

16. Que conceito da teoria dos números envolve encontrar soluções inteiras para equações lineares em múltiplas variáveis?

A) Números perfeitos
B) Equações Diofantinas
C) Equação de Pell
D) Teorema de Euler

17. Qual é a função divisora σ(n) utilizada para calcular?

A) Soma de todos os divisores positivos de n
B) Número de números perfeitos inferiores a n
C) Número de factores primos de n
D) Valor da função de Euler para o quociente de n

18. Qual é a utilização comum do teste de primalidade de Miller-Rabin?

A) Verificar a primalidade de números grandes
B) Calcular a sequência de Fibonacci
C) Determinar o GCD de dois números
D) Ordenar números por ordem decrescente

19. Como é que a função de Mobius é definida para um número inteiro positivo n?

A) μ(n) = 1 se n for par e 0 se n for ímpar
B) μ(n) = n² - n para qualquer número inteiro positivo n
C) μ(n) = 1 se n for um número inteiro positivo sem quadrado com um número par de factores primos distintos, μ(n) = -1 se n for sem quadrado com um número ímpar de factores primos e μ(n) = 0 se n tiver um fator primo ao quadrado
D) μ(n) = -1 se n for primo e 0 caso contrário

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