Teoria da representação

Teoria da representação - Teste

1. A teoria da representação é um ramo da matemática que estuda estruturas algébricas abstractas, representando os seus elementos como transformações lineares de espaços vectoriais. Explora a forma como os objectos podem ser representados por objectos mais simples, como matrizes e transformações lineares, e como estas representações podem fornecer informações sobre a estrutura e as propriedades dos objectos originais. A teoria das representações tem aplicações em vários domínios, incluindo a física, as ciências da computação e a geometria, onde ajuda a compreender estruturas complexas, decompondo-as em componentes mais simples. De um modo geral, a teoria das representações desempenha um papel fundamental na matemática moderna, fornecendo ferramentas poderosas para estudar e analisar uma vasta gama de estruturas matemáticas.

O que é uma representação de um grupo?

A) Uma descrição baseada em texto das operações de grupo.
B) Uma forma de ilustrar visualmente os elementos do grupo.
C) Um homomorfismo do grupo para o grupo linear geral de um espaço vetorial.
D) Uma interpretação das acções de grupo com gráficos.

2. O que é uma representação irredutível?

A) Uma representação que não tem subespaços invariantes não triviais.
B) Uma representação com vectores de base ortogonal.
C) Uma representação com elementos linearmente independentes.
D) Uma representação que utiliza apenas números complexos.

3. Na teoria da representação, qual é o carácter de uma representação?

A) O determinante da matriz que representa um elemento do grupo.
B) A dimensão do espaço vetorial.
C) Os valores próprios da matriz de representação.
D) O traço da matriz que representa um elemento do grupo.

4. Qual é o objetivo do estudo de representações de grupos de dimensão infinita?

A) Desenvolver algoritmos geométricos.
B) Analisar séries cronológicas financeiras.
C) Resolver equações diferenciais parciais.
D) Compreender a simetria na mecânica quântica.

5. O que é o centro de um grupo na teoria da representação?

A) O conjunto de elementos que comutam com todos os elementos do grupo.
B) O centro de massa de todos os elementos do grupo.
C) O centro geométrico de uma representação de grupo.
D) O ponto central de uma matriz de elementos de grupo.

6. O que é a representação adjunta de um grupo de Lie?

A) Uma representação utilizada no desenho arquitetónico.
B) Uma representação que envolve matrizes adjacentes.
C) A representação que corresponde à álgebra de Lie do grupo.
D) Uma representação com ângulos adjuntos.

7. Qual é o papel dos functores de Schur na teoria da representação?

A) Analisar os dados do mercado financeiro.
B) Otimizar as matrizes para estabilidade numérica.
C) Descrever as transformações geométricas.
D) Classificar representações de grupos simétricos.

8. Qual é a relação entre a teoria da representação e a mecânica quântica?

A) A teoria da representação cria o emaranhamento quântico.
B) A teoria das representações mede as flutuações quânticas.
C) A teoria da representação prevê o tunelamento quântico.
D) A teoria das representações ajuda a analisar simetrias e observáveis em sistemas quânticos.

9. O que é o conceito de representação unitária na teoria da representação?

A) Uma representação que utiliza apenas vectores unitários.
B) Uma representação que preserva um produto interno.
C) Uma representação com um elemento em cada linha e coluna.
D) Uma representação com a unidade como elemento de grupo.

10. O que significa o termo "endomorfismo" na teoria da representação?

A) Um homomorfismo de um grupo em si mesmo.
B) Uma representação de um grupo simples.
C) Um mapa entre espaços vectoriais.
D) Um morfismo de um grupo para outro.

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