Teoria da representação

Teoria da representação - Teste

1. A teoria da representação é um ramo da matemática que estuda estruturas algébricas abstractas, representando os seus elementos como transformações lineares de espaços vectoriais. Explora a forma como os objectos podem ser representados por objectos mais simples, como matrizes e transformações lineares, e como estas representações podem fornecer informações sobre a estrutura e as propriedades dos objectos originais. A teoria das representações tem aplicações em vários domínios, incluindo a física, as ciências da computação e a geometria, onde ajuda a compreender estruturas complexas, decompondo-as em componentes mais simples. De um modo geral, a teoria das representações desempenha um papel fundamental na matemática moderna, fornecendo ferramentas poderosas para estudar e analisar uma vasta gama de estruturas matemáticas.

O que é uma representação de um grupo?

A) Uma forma de ilustrar visualmente os elementos do grupo.
B) Uma interpretação das acções de grupo com gráficos.
C) Uma descrição baseada em texto das operações de grupo.
D) Um homomorfismo do grupo para o grupo linear geral de um espaço vetorial.

2. O que é uma representação irredutível?

A) Uma representação que não tem subespaços invariantes não triviais.
B) Uma representação com vectores de base ortogonal.
C) Uma representação com elementos linearmente independentes.
D) Uma representação que utiliza apenas números complexos.

3. Na teoria da representação, qual é o carácter de uma representação?

A) Os valores próprios da matriz de representação.
B) O traço da matriz que representa um elemento do grupo.
C) A dimensão do espaço vetorial.
D) O determinante da matriz que representa um elemento do grupo.

4. Qual é o objetivo do estudo de representações de grupos de dimensão infinita?

A) Analisar séries cronológicas financeiras.
B) Resolver equações diferenciais parciais.
C) Desenvolver algoritmos geométricos.
D) Compreender a simetria na mecânica quântica.

5. O que é o centro de um grupo na teoria da representação?

A) O centro de massa de todos os elementos do grupo.
B) O ponto central de uma matriz de elementos de grupo.
C) O centro geométrico de uma representação de grupo.
D) O conjunto de elementos que comutam com todos os elementos do grupo.

6. O que é a representação adjunta de um grupo de Lie?

A) Uma representação com ângulos adjuntos.
B) Uma representação que envolve matrizes adjacentes.
C) Uma representação utilizada no desenho arquitetónico.
D) A representação que corresponde à álgebra de Lie do grupo.

7. Qual é o papel dos functores de Schur na teoria da representação?

A) Classificar representações de grupos simétricos.
B) Analisar os dados do mercado financeiro.
C) Descrever as transformações geométricas.
D) Otimizar as matrizes para estabilidade numérica.

8. Qual é a relação entre a teoria da representação e a mecânica quântica?

A) A teoria da representação prevê o tunelamento quântico.
B) A teoria da representação cria o emaranhamento quântico.
C) A teoria das representações mede as flutuações quânticas.
D) A teoria das representações ajuda a analisar simetrias e observáveis em sistemas quânticos.

9. O que é o conceito de representação unitária na teoria da representação?

A) Uma representação que preserva um produto interno.
B) Uma representação com a unidade como elemento de grupo.
C) Uma representação que utiliza apenas vectores unitários.
D) Uma representação com um elemento em cada linha e coluna.

10. O que significa o termo "endomorfismo" na teoria da representação?

A) Uma representação de um grupo simples.
B) Um homomorfismo de um grupo em si mesmo.
C) Um mapa entre espaços vectoriais.
D) Um morfismo de um grupo para outro.

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