- 1. Рівняння з частинними похідними (РРЧП) - це тип диференціальних рівнянь, які включають декілька незалежних змінних. Вони використовуються для опису таких явищ, як теплопровідність, динаміка рідини та квантова механіка. На відміну від звичайних диференціальних рівнянь, які включають лише одну незалежну змінну, ДРП включають дві або більше незалежних змінних та їх часткові похідні. Розв'язками диференціальних рівнянь є функції, які залежать від усіх незалежних змінних і задовольняють дане диференціальне рівняння. Диференціальні рівняння відіграють важливу роль у різних галузях науки та техніки, надаючи потужні інструменти для моделювання та прогнозування поведінки складних систем.
Який метод найчастіше використовується для розв'язування лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами?
A) Метод перетворення Лапласа
B) Метод функції Гріна
C) Метод розділення змінних
D) Метод кінцевих різниць
- 2. Який тип граничної умови визначає значення розв'язку на замкненій границі області?
A) Гранична умова Неймана
B) Гранична умова Діріхле
C) Гранична умова Робіна
D) Гранична умова Коші
- 3. Яке рівняння є окремим випадком рівняння Гельмгольца з нульовою правою частиною?
A) Хвильове рівняння
B) Рівняння Пуассона
C) Рівняння теплового балансу
D) Рівняння Лапласа
- 4. Який тип граничної умови визначає нормальну похідну розв'язку на межі області?
A) Гранична умова Неймана
B) Гранична умова Коші
C) Гранична умова Робіна
D) Гранична умова Діріхле
- 5. Який метод передбачає перетворення диференціального рівняння в частинних похідних в інтегральне рівняння для знаходження невідомої функції?
A) Метод характеристик
B) Метод розділення змінних
C) Метод функцій Гріна
D) Метод інтегральних перетворень
- 6. Задача Коші для гіперболічного диференціального рівняння з частинними похідними вимагає початкових умов, заданих на якому типі поверхні?
A) Поверхня усічення
B) Поверхня Коші
C) Гранична поверхня
D) Характерна поверхня
- 7. Яке диференціальне рівняння в частинних похідних використовується для моделювання хвильових явищ, таких як вібрації та звукові хвилі?
A) Рівняння Пуассона
B) Рівняння Лапласа
C) Хвильове рівняння
D) Рівняння теплового балансу
- 8. Який метод передбачає перетворення диференціального рівняння в частинних похідних у систему звичайних диференціальних рівнянь шляхом заміни змінних?
A) Метод характеристик
B) Метод функцій Гріна
C) Метод розділення змінних
D) Метод розкладання за власними функціями
- 9. В контексті диференціальних рівнянь з частинними похідними, який термін позначає розв'язок, що задовольняє рівняння, але не обов'язково граничні умови?
A) Слабке рішення
B) Сильне рішення
C) Чисельний розв'язок
D) Точне рішення
- 10. Яке одне з найважливіших застосувань диференціальних рівнянь у наукових галузях?
A) Фундаментальне розуміння фізики та інженерії.
B) Вони використовуються лише в чистій математиці.
C) В основному для теоретичної інформатики.
D) Обмежено розв'язуванням простих алгебраїчних рівнянь.
- 11. Яке рівняння Лапласа для функції u(x, y, z) від трьох змінних?
A) ∂u/∂x² + ∂u/∂y² + ∂u/∂z² = 1
B) ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0
C) ∂²u/∂x² - ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0
D) ∂u/∂x + ∂u/∂y + ∂u/∂z = 1
- 12. Як називається функція, яка задовольняє рівняння Лапласа?
A) Еліптична функція
B) Лінійна функція
C) Параболічна функція
D) Гармонічна функція
- 13. Яка з наступних функцій не є гармонічною?
A) u(x, y, z) = sin(xy) + z
B) u(x, y, z) = e5xsin(3y)cos(4z)
C) u(x, y, z) = (1 / √(x² - 2x + y² + z² + 1))
D) u(x, y, z) = 2x² - y² - z²
- 14. Яким є вигляд функції v(x, y), яка задовольняє рівняння ∂²v/∂x∂y = 0?
A) v(x, y) = xy
B) v(x, y) = x + y
C) v(x, y) = f(x) + g(y)
D) v(x, y) = f(xy)
- 15. Яка область визначення функції u для рівняння в частинних похідних ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0, якщо задано неперервну функцію U на одиничному колі?
A) Саме одиничне коло.
B) Вся дійсна площина.
C) Будь-яка довільна область.
D) Круг радіуса одиниці, розташований навколо початку координат на площині.
- 16. Для якого диференціального рівняння в частинних похідних існує єдиний розв'язок при заданих двох функціях?
A) Нелінійне диференціальне рівняння в частинних похідних, що містить квадратні корені та квадрати
B) Будь-яке лінійне однорідне диференціальне рівняння в частинних похідних
C) ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 на одиничному диску
D) ∂²u/∂x² - ∂²u/∂y² = 0 на R × (-1, 1)
- 17. Яка форма розв'язку для функції u, яка задовольняє нелінійне диференціальне рівняння, згадане вище?
A) u(x, y) = ax + by + c
B) u(x, y) = x² + y²
C) u(x, y) = f(x)g(y)
D) u(x, y) = exy
- 18. Яка кількість змінних повинна мати невідома функція в диференціальному рівнянні в частинних похідних?
A) Дві або більше (n ≥ 2).
B) Будь-яка кількість змінних.
C) Точно одна змінна.
D) Три або більше змінних.
- 19. Яка роль символу 'D' у диференціальному рівнянні в частинних похідних?
A) Область інтегрування.
B) Розв'язувач диференціальних рівнянь.
C) Довільна константа.
D) Оператор часткової похідної.
- 20. Який символ позначає оператор Лапласа?
A) ∇
B) u_xx
C) a1
D) Δ
- 21. Який тип диференціального рівняння в частинних похідних описує рівняння a1(x,y)u_{xx} + a2(x,y)u_{xy} + f(u_x, u_y, u, x, y) = 0?
A) Лінійне з постійними коефіцієнтами
B) Повністю нелінійне
C) Напівлінійне
D) Квазілінійне
- 22. Який тип диференціального рівняння характеризується відсутністю властивостей лінійності?
A) Напівлінійне
B) Повністю нелінійне
C) Квазілінійне
D) Лінійне з постійними коефіцієнтами
- 23. Який тип диференціальних рівнянь часткових похідних зберігає розриви в початкових даних?
A) Параболічні диференціальні рівняння часткових похідних.
B) Еліптичні диференціальні рівняння часткових похідних.
C) Гіперболічні диференціальні рівняння часткових похідних.
D) Ультрагіперболічні диференціальні рівняння часткових похідних.
- 24. Який тип диференціального рівняння в частинах може бути перетворений у форму, аналогічну рівнянню теплопровідності?
A) Параболічні диференціальні рівняння в частинах.
B) Еліптичні диференціальні рівняння в частинах.
C) Гіперболічні диференціальні рівняння в частинах.
D) Ультрагіперболічні диференціальні рівняння в частинах.
- 25. Яким типом диференціального рівняння стає рівняння Ейлера-Трікомі, коли x < 0?
A) Гіперболічне.
B) Еліптичне.
C) Ультрагіперболічне.
D) Параболічне.
- 26. Яка форма диференціального рівняння в частинних похідних другого порядку, яке можна виразити у вигляді u_xx - u_yy + ... = 0?
A) Еліптичне.
B) Параболічне.
C) Ультрагіперболічне.
D) Гіперболічне.
- 27. Який тип диференціальних рівнянь у частинних похідних може наближено описувати рух рідини при дозвукових швидкостях?
A) Гіперболічні диференціальні рівняння.
B) Еліптичні диференціальні рівняння.
C) Параболічні диференціальні рівняння.
D) Ультрагіперболічні диференціальні рівняння.
|