Théorie informatique des nombres

1. La théorie computationnelle des nombres est une branche des mathématiques qui se concentre sur l'utilisation d'algorithmes et de techniques informatiques pour étudier et résoudre les problèmes liés aux nombres. Elle implique l'utilisation d'outils informatiques pour analyser les concepts et phénomènes de la théorie des nombres, tels que les nombres premiers, la factorisation, l'arithmétique modulaire et les schémas cryptographiques. Grâce à l'utilisation de méthodes informatiques, les chercheurs et les mathématiciens peuvent explorer des questions complexes liées à la théorie des nombres, développer des algorithmes efficaces pour résoudre des problèmes mathématiques et analyser le comportement de diverses séquences et propriétés de nombres. La théorie informatique des nombres joue un rôle crucial dans la cryptographie moderne, le cryptage des données et la sécurité des systèmes de communication numérique, ce qui en fait un domaine d'étude fondamental tant en mathématiques qu'en informatique.

Quel algorithme est couramment utilisé pour trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) de deux nombres entiers ?

A) Algorithme euclidien
B) Tamis d'Eratosthène
C) Recherche binaire
D) Le petit théorème de Fermat

2. Quelle est l'utilité du théorème chinois des restes dans la théorie des nombres ?

A) Calcul des factorielles
B) Trouver les nombres premiers
C) Conversion des décimales en fractions
D) Résolution de systèmes de congruences simultanées

3. Quel est le plus petit nombre premier ?

A) 3
B) 5
C) 1
D) 2

4. Que compte la fonction Totient d'Euler ?

A) Nombre de diviseurs de n
B) Nombre de facteurs premiers de n
C) Nombre d'entiers positifs inférieurs à n qui sont coprimes à n
D) Nombre de nombres pairs inférieurs à n

5. Qu'est-ce que le théorème de Wilson ?

A) Le produit de k nombres consécutifs quelconques est divisible par k !
B) La somme de nombres impairs consécutifs est toujours paire
C) Tout nombre est une factorielle d'un autre nombre
D) p est un nombre premier si et seulement si (p-1) ! ≡ -1 (mod p)

6. Combien y a-t-il de nombres premiers entre 1 et 20 (inclus) ?

A) 9
B) 8
C) 6
D) 7

7. Quel théorème énonce que tout nombre entier pair supérieur à 2 peut être exprimé comme la somme de deux nombres premiers ?

A) Dernier théorème de Fermat
B) Théorème de Pythagore
C) Problème P vs NP
D) Conjecture de Goldbach

8. Quel concept de la théorie des nombres consiste à trouver des solutions entières à des équations linéaires à plusieurs variables ?

A) Des chiffres parfaits
B) Théorème d'Euler
C) Equations diophantiennes
D) L'équation de Pell

9. Qu'est-ce qu'une prime Sophie Germain ?

A) Prime dont la racine carrée est prime
B) Premier p tel que 2p + 1 est également premier
C) Prime avec un seul facteur
D) Nombre premier supérieur à 100

10. Quel est l'ordre de 2 modulo 11 ?

A) 11
B) 10
C) 9
D) 5

11. Comment la fonction de Möbius est-elle définie pour un entier positif n ?

A) μ(n) = n² - n pour tout entier positif n
B) μ(n) = 1 si n est pair et 0 si n est impair
C) μ(n) = 1 si n est un entier positif sans carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts, μ(n) = -1 si n est sans carré avec un nombre impair de facteurs premiers, et μ(n) = 0 si n a un facteur premier au carré.
D) μ(n) = -1 si n est premier et 0 sinon

12. Qu'est-ce qu'un numéro Niven ?

A) Nombre premier supérieur à 100
B) Nombre entier divisible par la somme de ses chiffres
C) Nombre pair inférieur à 10
D) Nombre parfait avec facteurs premiers

13. Qu'est-ce qu'un nombre premier de Mersenne ?

A) Prime avec exactement 2 facteurs
B) Nombre premier inférieur d'une unité à une puissance de 2
C) Carré parfait qui est premier
D) Nombre premier supérieur à 1000

14. Quel est le calcul de la fonction diviseur σ(n) ?

A) Nombre de facteurs premiers de n
B) Fonction d'Euler Totient valeur de n
C) Somme de tous les diviseurs positifs de n
D) Nombre de nombres parfaits inférieurs à n

15. Quel est l'ordre du groupe des entiers modulo 7 sous la multiplication modulo 7 ?

A) 7
B) 6
C) 4
D) 5

16. Qu'indique la valeur du symbole de Legendre (a/p), où p est un nombre premier impair ?

A) Nombre de diviseurs de p+a
B) Valeur de la fonction f(a, p) = a^p
C) Indique si a est un résidu quadratique modulo p
D) Nombre de solutions à l'équation a² = p (mod m)

17. Comment appelle-t-on un nombre qui n'a pas d'autres diviseurs positifs que 1 et lui-même ?

A) Nombre impair
B) Nombre composé
C) Nombre pair
D) Nombre premier

18. Quelle est l'utilisation courante du test de primalité de Miller-Rabin ?

A) Vérification de la primalité des grands nombres
B) Trouver le PGCD de deux nombres
C) Calculer la suite de Fibonacci
D) Trier les nombres par ordre décroissant

19. Quelle est la valeur de φ(12), où φ est la fonction totient d'Euler ?

A) 8
B) 4
C) 10
D) 6

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